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Popolare Trigonometria >

tan(t)-tan^2(t)+sec^3(t)>0

Soluzione

tan (t) - tan^{2} (t) + sec^{3} (t) > 0

Soluzione

2 πn \leq t < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < t \leq 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn]

Decimale

2 πn \leq t < 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < t \leq 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

tan (t) - tan^{2} (t) + sec^{3} (t) > 0

Periodicità di

tan (t) - tan^{2} (t) + sec^{3} (t) : 2 π

La periodicità composta della somma di funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi

tan (t), tan^{2} (t), sec^{3} (t)

Periodicità di

tan (t) : π

Periodicità di

tan (x)

π

= π

Periodicità di

tan^{2} (t) : π

P er i o d i c i t \overset{a}{ˋ} d i tan^{n} (x) =

Periodicità di

tan (x)

Periodicità di

tan (t) : π

Periodicità di

tan (x)

π

= π

π

Periodicità di

sec^{3} (t) : 2 π

Periodicità di

sec^{n} (x) =

Periodicità di

sec (x),

se n è dispari

Periodicità di

sec (t) : 2 π

Periodicità di

sec (x)

2 π

= 2 π

2 π

Combine periodi:

π, π, 2 π

= 2 π

Esprimere con sen e cos

tan (t) - tan^{2} (t) + sec^{3} (t) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} - (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} + sec^{3} (t) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} - (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} + (\frac{1}{cos ( t )})^{3} > 0

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} - (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} + (\frac{1}{cos ( t )})^{3} > 0

Semplificare

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} - (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} + (\frac{1}{cos ( t )})^{3} : \frac{cos ^{2} ( t ) sin ( t ) - sin ^{2} ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ^{3} ( t )}

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} - (\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} + (\frac{1}{cos ( t )})^{3}

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{sin ( t )}{cos ( t )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )}

(\frac{1}{cos ( t )})^{3} = \frac{1}{cos ^{3} ( t )}

(\frac{1}{cos ( t )})^{3}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{3}}{cos ^{3} ( t )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{3} = 1

= \frac{1}{cos ^{3} ( t )}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )} - \frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} + \frac{1}{cos ^{3} ( t )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (t), cos^{2} (t), cos^{3} (t) : cos^{3} (t)

cos (t), cos^{2} (t), cos^{3} (t)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcola un espressione composta da fattori che appaiono almeno in una delle espressioni scomposte

= cos^{3} (t)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos^{3} (t)

Per

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{2} (t)

\frac{sin ( t )}{cos ( t )} = \frac{sin ( t ) cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) cos ^{2} ( t )} = \frac{sin ( t ) cos ^{2} ( t )}{cos ^{3} ( t )}

Per

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (t)

\frac{sin ^{2} ( t )}{cos ^{2} ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}{cos ^{2} ( t ) cos ( t )} = \frac{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}{cos ^{3} ( t )}

= \frac{sin ( t ) cos ^{2} ( t )}{cos ^{3} ( t )} - \frac{sin ^{2} ( t ) cos ( t )}{cos ^{3} ( t )} + \frac{1}{cos ^{3} ( t )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( t ) cos ^{2} ( t ) - sin ^{2} ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ^{3} ( t )}

\frac{cos ^{2} ( t ) sin ( t ) - sin ^{2} ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ^{3} ( t )} > 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{cos ^{2} ( t ) sin ( t ) - sin ^{2} ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ^{3} ( t )}

per

0 \leq t < 2 π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{cos ^{2} ( t ) sin ( t ) - sin ^{2} ( t ) cos ( t ) + 1}{cos ^{3} ( t )} = 0

Trova i punti non definiti:

t = \frac{π}{2}, t = \frac{3 π}{2}

Trova le radici del denominatore

cos^{3} (t) = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (t) = 0

Soluzioni generali per

cos (t) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq t < 2 π

t = \frac{π}{2}, t = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

Identifica gli intervalli

0 < t < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < t < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < t < 2 π

Riassumere in una tabella:

cos^{2} (t) sin (t) - sin^{2} (t) cos (t) + 1 cos^{3} (t) \frac{c o s ^{2} ( t ) s i n ( t ) - s i n ^{2} ( t ) c o s ( t ) + 1}{c o s ^{3} ( t )} t = 0 + + + 0 < t < \frac{π}{2} + + + t = \frac{π}{2} + 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < t < \frac{3 π}{2} + - - t = \frac{3 π}{2} + 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{3 π}{2} < t < 2 π + + + t = 2 π + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

t = 0 or 0 < t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t < 2 π or t = 2 π

Unire gli intervalli sovrapposti

0 \leq t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t < 2 π or t = 2 π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

t = 0

0 < t < \frac{π}{2}

0 \leq t < \frac{π}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq t < \frac{π}{2}

\frac{3 π}{2} < t < 2 π

0 \leq t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t < 2 π

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

0 \leq t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t < 2 π

t = 2 π

0 \leq t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t \leq 2 π

0 \leq t < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < t \leq 2 π

Applicare la periodicità di

tan (t) - tan^{2} (t) + sec^{3} (t)

2 πn \leq t < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < t \leq 2 π + 2 πn

Esempi popolari

-cos(2x)<= (sqrt(3))/2

- cos (2 x) \leq \frac{3}{2}

sin(x)<0,sec(x)>0

sin (x) < 0, sec (x) > 0

2sin(x)+3((sin(2x))/(2sin(x)))<0

2 sin (x) + 3 (\frac{sin ( 2 x )}{2 sin ( x )}) < 0

cos^2(x)>sin(x)cos(x)

cos^{2} (x) > sin (x) cos (x)

cos(θ)>0,sin(θ)>0

cos (θ) > 0, sin (θ) > 0