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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

Lösung

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Intervall-Notation

[\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

Dezimale

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Angenommen:

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

2 u^{2} + u - 1 \leq 0 : - 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

Faktorisiere

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} - u

aus

: u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u - 1) (u + 1)

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- 1 \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u = - 1

oder

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

oder

u = \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

- 1 \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

Wenn

a \leq u \leq b

dann

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq cos (x) :

Wahr für alle

x \in R

- 1 \leq cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) \geq - 1

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Vereinfache

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{3}) < \frac{3}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

(2 sin (2 x) + \frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

((1-cos(x))(1+cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

(2sin(x)+1)(-2cos(x)+sqrt(3))>0

(2 sin (x) + 1) (- 2 cos (x) + 3) > 0