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Popular >

3cos(x)>2sin^2(x)

Solución

3 cos (x) > 2 sin^{2} (x)

Solución

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

Notación decimal

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

Pasos de solución

3 cos (x) > 2 sin^{2} (x)

Mover

2 sin^{2} (x)

al lado izquierdo

3 cos (x) > 2 sin^{2} (x)

Restar

2 sin^{2} (x)

de ambos lados

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) > 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (x)

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) > 0

3 cos (x) - 2 sin^{2} (x) > 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

3 cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) > 0

Sea:

u = cos (x)

3 u - 2 (1 - u^{2}) > 0

3 u - 2 (1 - u^{2}) > 0 : u < - 2 or u > \frac{1}{2}

3 u - 2 (1 - u^{2}) > 0

Factorizar

3 u - 2 (1 - u^{2}) : (u + 2) (2 u - 1)

3 u - 2 (1 - u^{2})

2 (1 - u^{2}) = - 2 (u + 1) (u - 1)

2 (1 - u^{2})

Factorizar

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (u^{2} - 1)

Factorizar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - 2 (u + 1) (u - 1)

= 3 u - (- 2 (u + 1) (u - 1))

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3 u + 2 (u + 1) (u - 1)

Expandir

3 u + 2 (u + 1) (u - 1) : 3 u + 2 u^{2} - 2

3 u + 2 (u + 1) (u - 1)

Expandir

2 (u + 1) (u - 1) : 2 u^{2} - 2

Expandir

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= 2 (u^{2} - 1)

Expandir

2 (u^{2} - 1) : 2 u^{2} - 2

2 (u^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = u^{2}, c = 1

= 2 u^{2} - 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u^{2} - 2

= 2 u^{2} - 2

= 3 u + 2 u^{2} - 2

= 3 u + 2 u^{2} - 2

Factorizar

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + 3 u - 2

Factorizar la expresión

2 u^{2} + 3 u - 2

Definición

Factores de

4 : 1, 2, 4

4

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

4 : 2, 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2

Agregar factores primos:

2

Agregar 1 y su propio número

4

1, 4

Divisores de

4

1, 2, 4

Factores negativos de

4 : - 1, - 2, - 4

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 4

Por cada dos factores tales que

u * v = - 4,

revisar si

u + v = 3

Revisar

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

Factorizar

2

4 u - 2

2 (2 u - 1)

4 u - 2

Reescribir

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

= (u + 2) (2 u - 1)

(u + 2) (2 u - 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 2) (2 u - 1)

Encontrar los signos de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 < 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplificar

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Mover

2

al lado derecho

u + 2 > 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplificar

u > - 2

u > - 2

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Resumir en una tabla:

u + 2 2 u - 1 (u + 2) (2 u - 1) u < - 2 - - + u = - 2 0 - 0 - 2 < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < - 2 or u > \frac{1}{2}

u < - 2 or u > \frac{1}{2}

u < - 2 or u > \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) < - 2 or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - 2 :

Falso para todo

x \in R

cos (x) < - 2

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y < - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y < - 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y < - 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

Falso para todo x \in R or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)<tan(y)

tan (x) < tan (y)

tan(x-pi/6)>=-1

tan (x - \frac{π}{6}) \geq - 1

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{3}) < \frac{3}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

(2 sin (2 x) + \frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}