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Beliebt Trigonometrie >

((1-cos(x))(1+cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

Lösung

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

Lösung

2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 2.35619 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

Periodizität von

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} : 2 π

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 - cos (x) = 0 or 1 + cos (x) = 0

1 - cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0

1 - cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- cos (x) = - 1

- cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0

1 + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = π

1 + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = π

Kombiniere alle Lösungen

x = 0, x = π

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (x) + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

tan (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{3 π}{4}, x = \frac{7 π}{4}

0, \frac{3 π}{4}, π, \frac{7 π}{4}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π, π < x < \frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 - cos (x) 1 + cos (x) sin (x) + cos (x) \frac{( 1 - c o s ( x ) ) ( 1 + c o s ( x ) )}{s i n ( x ) + c o s ( x )} x = 0 0 + + 0 0 < x < \frac{3 π}{4} + + + + x = \frac{3 π}{4} + + 0 Unbestimmt \frac{3 π}{4} < x < π + + - - x = π + 0 - 0 π < x < \frac{7 π}{4} + + - - x = \frac{7 π}{4} + + 0 Unbestimmt \frac{7 π}{4} < x < 2 π + + + + x = 2 π 0 + + 0

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

0 < x < \frac{3 π}{4} or \frac{7 π}{4} < x < 2 π

Verwende die Periodizität von

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )}

2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Beliebte Beispiele

(2sin(x)+1)(-2cos(x)+sqrt(3))>0

(2 sin (x) + 1) (- 2 cos (x) + 3) > 0

cos(x)>-sin(x)

cos (x) > - sin (x)

2sin^2(x)+sqrt(3)sin(x)>= 0

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 0

arcsin((sqrt(3))/2-(0.15)/x)>=-pi/2

arcsin (\frac{3}{2} - \frac{0.15}{x}) \geq - \frac{π}{2}

cos(x)(2sin(x)-sqrt(3))>= 0

cos (x) (2 sin (x) - 3) \geq 0