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2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)< 1/2

解答

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

解答

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

+2

间隔符号

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

十进制表示法

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

求解步骤

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

令

: u = 3 x

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2} : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

利用以下特性:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

化简

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

的周期:

π

周期函数和的复合周期是这些周期的最小公倍数

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

2 cos^{2} (u)

的周期:

π

cos^{n} (x)

的周期

= \frac{cos ( x ) 的周期}{2}

，前提是 n 为偶数

cos (u)

的周期:

2 π

cos (x)

的周期是

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

化简

π

23 cos (u) sin (u)

的周期:

π

23 cos (u) sin (u)

包含以下函数及对应周期:

cos (u)

的周期为

2 π

复合周期为:

π

合并周期:

π, π

= π

因式分解

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

因式分解出通项

2 cos (u)

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < \frac{1}{2}

要找到零点，将不等式设置为零

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

解

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

求得

0 \leq u < π

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

分别求解每个部分

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

cos (u) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

在

0 \leq u < π

范围内的解

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

使用三角恒等式改写

cos (u) + 3 sin (u) = 0

在两边除以

cos (u), cos (u) \neq = 0

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

化简

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

使用基本三角恒等式:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

将

1

到右边

1 + 3 tan (u) = 0

两边减去

1

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

化简

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

两边除以

3

3 tan (u) = - 1

两边除以

3

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

化简

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

化简

\frac{3 tan ( u )}{3} : tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

约分:

3

= tan (u)

化简

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

有理化:

- \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

乘以共轭根式

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

使用根式运算法则:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

的通解

tan (x)

周期表（周期为

πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

在

0 \leq u < π

范围内的解

u = \frac{5 π}{6}

合并所有解

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

零点之间的区间

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

总结如下表：

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

确定满足所需条件的区间：

< 0

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

使用周期

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

3 x = u

代回

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

交换两边

3 x > \frac{π}{2} + πn

两边除以

3

3 x > \frac{π}{2} + πn

两边除以

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

化简

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

化简

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

数字相除:

\frac{3}{3} = 1

= x

化简

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

两边除以

3

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

两边除以

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

化简

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

化简

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

数字相除:

\frac{3}{3} = 1

= x

化简

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

数字相乘:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

合并区间

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

合并重叠的区间

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

流行的例子

sin (3 x) \leq \frac{1}{3}

tan(t)<-1/(sqrt(3))

tan (t) < - \frac{1}{3}

sin(x)>= 1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (x) \geq \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

2 cos (x) + 2 \geq 2

(2*cos(x)-3)/(sin(x))>= 0

\frac{2 \cdot cos ( x ) - 3}{sin ( x )} \geq 0