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Beliebt Trigonometrie >

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)< 1/2

Lösung

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

Lösung

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

Dezimale

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

Schritte zur Lösung

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < \frac{1}{2}

Angenommen:

u = 3 x

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2} : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < \frac{1}{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

Vereinfache

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < \frac{1}{2}

Periodizität von

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

Periodizität von

2 cos^{2} (u) : π

Periodizität von

cos^{n} (x) = \frac{Periodizit a ¨ t von cos ( x )}{2},

wenn n gerade ist

Periodizität von

cos (u) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Vereinfache

π

Periodizität von

23 cos (u) sin (u) : π

23 cos (u) sin (u)

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (u)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

π

Kombiniere Perioden:

π, π

= π

Faktorisiere

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

Klammere gleiche Terme aus

2 cos (u)

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < \frac{1}{2}

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Stelle

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

nach

0 \leq u < π

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Allgemeine Lösung für

cos (u) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (u) + 3 sin (u) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (u), cos (u) \neq = 0

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

Vereinfache

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 3 tan (u) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 tan (u) = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 tan ( u )}{3} : tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= tan (u)

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq u < π

u = \frac{5 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Die Intervalle zwischen den Nullstellen

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

Verwende die Periodizität von

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

Setze in

3 x = u

ein

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

Tausche die Seiten

3 x > \frac{π}{2} + πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x > \frac{π}{2} + πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Vereinfache

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Teile die Zahlen:

\frac{3}{3} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

Kombiniere die Bereiche

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Beliebte Beispiele

sin(3x)<= 1/3

sin (3 x) \leq \frac{1}{3}

tan(t)<-1/(sqrt(3))

tan (t) < - \frac{1}{3}

sin(x)>= 1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (x) \geq \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

2cos(x)+2>= 2

2 cos (x) + 2 \geq 2

(2*cos(x)-3)/(sin(x))>= 0

\frac{2 \cdot cos ( x ) - 3}{sin ( x )} \geq 0