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cosh(θ)= 29/8 \land θ<0,sinh(θ)

Solución

cosh (θ) = \frac{29}{8} and θ < 0, sinh (θ)

Solución

θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

Notación decimal

θ = - 1.96140 \dots

Pasos de solución

cosh (θ) = \frac{29}{8} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{29}{8} : θ = ln (\frac{29 + 777}{8}), θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

cosh (θ) = \frac{29}{8}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cosh (θ) = \frac{29}{8}

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{29}{8}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{29}{8}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{29}{8} : θ = ln (\frac{29 + 777}{8}), θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{29}{8}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 8 = 2 \cdot 29

Simplificar

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 8 = 58

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 8 = 58

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 8 = 58

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 8 = 58

Re escribir la ecuación con

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 8 = 58

Resolver

(u + u^{- 1}) \cdot 8 = 58 : u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

(u + u^{- 1}) \cdot 8 = 58

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 8 = 58

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 8 : 8 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 8

Aplicar regla conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 8 = 8 (u + \frac{1}{u})

8 (u + \frac{1}{u})

8 (u + \frac{1}{u}) = 58

Desarrollar

8 (u + \frac{1}{u}) : 8 u + \frac{8}{u}

8 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 8, b = u, c = \frac{1}{u}

= 8 u + 8 \cdot \frac{1}{u}

8 \cdot \frac{1}{u} = \frac{8}{u}

8 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 8}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 8 = 8

= \frac{8}{u}

= 8 u + \frac{8}{u}

8 u + \frac{8}{u} = 58

Multiplicar ambos lados por

u

8 u + \frac{8}{u} = 58

Multiplicar ambos lados por

u

8 uu + \frac{8}{u} u = 58 u

Simplificar

8 uu + \frac{8}{u} u = 58 u

Simplificar

8 uu : 8 u^{2}

8 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 8 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 8 u^{2}

Simplificar

\frac{8}{u} u : 8

\frac{8}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{8 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 8

8 u^{2} + 8 = 58 u

8 u^{2} + 8 = 58 u

8 u^{2} + 8 = 58 u

Resolver

8 u^{2} + 8 = 58 u : u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

8 u^{2} + 8 = 58 u

Mover

58 u

al lado izquierdo

8 u^{2} + 8 = 58 u

Restar

58 u

de ambos lados

8 u^{2} + 8 - 58 u = 58 u - 58 u

Simplificar

8 u^{2} + 8 - 58 u = 0

8 u^{2} + 8 - 58 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} - 58 u + 8 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

8 u^{2} - 58 u + 8 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 8, b = - 58, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 58 ) \pm ( - 58 ) ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 8}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 58 ) \pm ( - 58 ) ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 8}{2 \cdot 8}

(- 58)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 2777

(- 58)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 8

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 58)^{2} = 5 8^{2}

= 5 8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 8

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 8 \cdot 8 = 256

= 5 8^{2} - 256

5 8^{2} = 3364

= 3364 - 256

Restar:

3364 - 256 = 3108

= 3108

Descomposición en factores primos de

3108 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37

3108

3108

divida por

23108 = 1554 \cdot 2

= 2 \cdot 1554

1554

divida por

21554 = 777 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 777

777

divida por

3777 = 259 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 259

259

divida por

7259 = 37 \cdot 7

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37

2, 3, 7, 37

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 37

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3 \cdot 7 \cdot 37

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7 \cdot 37

Simplificar

= 2777

u_{1, 2} = \frac{- ( - 58 ) \pm 2 777}{2 \cdot 8}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 58 ) + 2 777}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- ( - 58 ) - 2 777}{2 \cdot 8}

u = \frac{- ( - 58 ) + 2 777}{2 \cdot 8} : \frac{29 + 777}{8}

\frac{- ( - 58 ) + 2 777}{2 \cdot 8}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{58 + 2 777}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{58 + 2 777}{16}

Factorizar

58 + 2777 : 2 (29 + 777)

58 + 2777

Reescribir como

= 2 \cdot 29 + 2777

Factorizar el termino común

2

= 2 (29 + 777)

= \frac{2 ( 29 + 777 )}{16}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{29 + 777}{8}

u = \frac{- ( - 58 ) - 2 777}{2 \cdot 8} : \frac{29 - 777}{8}

\frac{- ( - 58 ) - 2 777}{2 \cdot 8}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{58 - 2 777}{2 \cdot 8}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{58 - 2 777}{16}

Factorizar

58 - 2777 : 2 (29 - 777)

58 - 2777

Reescribir como

= 2 \cdot 29 - 2777

Factorizar el termino común

2

= 2 (29 - 777)

= \frac{2 ( 29 - 777 )}{16}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{29 - 777}{8}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 8

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

u = \frac{29 + 777}{8}, u = \frac{29 - 777}{8}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{θ},

resolver para

θ

Resolver

e^{θ} = \frac{29 + 777}{8} : θ = ln (\frac{29 + 777}{8})

e^{θ} = \frac{29 + 777}{8}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{29 + 777}{8}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{29 + 777}{8})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{29 + 777}{8})

θ = ln (\frac{29 + 777}{8})

Resolver

e^{θ} = \frac{29 - 777}{8} : θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

e^{θ} = \frac{29 - 777}{8}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{29 - 777}{8}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{29 - 777}{8})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

θ = ln (\frac{29 + 777}{8}), θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

θ = ln (\frac{29 + 777}{8}), θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

Combinar los rangos

(θ = ln (\frac{29 - 777}{8}) or θ = ln (\frac{29 + 777}{8})) and θ < 0

Mezclar intervalos sobrepuestos

θ = ln (\frac{29 - 777}{8}) or θ = ln (\frac{29 + 777}{8}) and θ < 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

θ = ln (\frac{29 - 777}{8}) or θ = ln (\frac{29 + 777}{8})

θ < 0

θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

θ = ln (\frac{29 - 777}{8})

Ejemplos populares

0<arcsin(y)<pi

0 < arcsin (y) < π

-1<= cos(x)<= 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

-pi/2 <arctan(y)<0

- \frac{π}{2} < arctan (y) < 0

sin(θ)=(sqrt(3))/2 \land tan(θ)<0

sin (θ) = \frac{3}{2} and tan (θ) < 0

sin(x)0<x<pi

sin (x) 0 < x < π