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Popular >

-2<= 2/(cos(x))<= 1

Solución

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Solución

x = π + 2 πn

Notación decimal

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Pasos de solución

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} and \frac{2}{cos ( x )} \leq 1

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )} : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

- 2 \leq \frac{2}{cos ( x )}

Intercambiar lados

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

Reescribir en la forma estándar

\frac{2}{cos ( x )} \geq - 2

Sumar

2

a ambos lados

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq - 2 + 2

Simplificar

\frac{2}{cos ( x )} + 2 \geq 0

Simplificar

\frac{2}{cos ( x )} + 2 : \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} + 2

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} + \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} \geq 0

Factorizar

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 cos ( x )}{cos ( x )}

Factorizar

2 cos (x) + 2 : 2 (cos (x) + 1)

2 cos (x) + 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (cos (x) + 1)

= \frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

\frac{2 ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )} \geq 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{\frac{2 ( c o s ( x ) + 1 )}{c o s ( x )}}{2} \geq \frac{0}{2}

Simplificar

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )} \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Encontrar los signos de

cos (x) + 1

cos (x) + 1 = 0 : cos (x) = - 1

cos (x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

cos (x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

cos (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

cos (x) + 1 < 0 : cos (x) < - 1

cos (x) + 1 < 0

Mover

1

al lado derecho

cos (x) + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

cos (x) + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

cos (x) + 1 > 0 : cos (x) > - 1

cos (x) + 1 > 0

Mover

1

al lado derecho

cos (x) + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

cos (x) + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

Encontrar los signos de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir en una tabla:

cos (x) + 1 cos (x) \frac{c o s ( x ) + 1}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Sin definir cos (x) > 0 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

cos (x) < - 1 or cos (x) = - 1 or cos (x) > 0

Mezclar intervalos sobrepuestos

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) < - 1

cos (x) = - 1

cos (x) \leq - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) \leq - 1

cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 or cos (x) > 0

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Simplificar

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Simplificar

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Sumar elementos similares:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplificar

x = π + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Para

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar los rangos

x = π + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Reescribir en la forma estándar

\frac{2}{cos ( x )} \leq 1

Restar

1

de ambos lados

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 1 - 1

Simplificar

\frac{2}{cos ( x )} - 1 \leq 0

Simplificar

\frac{2}{cos ( x )} - 1 : \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2}{cos ( x )} - 1

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

\frac{2 - cos ( x )}{cos ( x )}

Encontrar los signos de

2 - cos (x)

2 - cos (x) = 0 : cos (x) = 2

2 - cos (x) = 0

Mover

2

al lado derecho

2 - cos (x) = 0

Restar

2

de ambos lados

2 - cos (x) - 2 = 0 - 2

Simplificar

- cos (x) = - 2

- cos (x) = - 2

Dividir ambos lados entre

- 1

- cos (x) = - 2

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

Simplificar

cos (x) = 2

cos (x) = 2

2 - cos (x) < 0 : cos (x) > 2

2 - cos (x) < 0

Mover

2

al lado derecho

2 - cos (x) < 0

Restar

2

de ambos lados

2 - cos (x) - 2 < 0 - 2

Simplificar

- cos (x) < - 2

- cos (x) < - 2

Multiplicar ambos lados por

- 1

- cos (x) < - 2

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- cos (x)) (- 1) > (- 2) (- 1)

Simplificar

cos (x) > 2

cos (x) > 2

2 - cos (x) > 0 : cos (x) < 2

2 - cos (x) > 0

Mover

2

al lado derecho

2 - cos (x) > 0

Restar

2

de ambos lados

2 - cos (x) - 2 > 0 - 2

Simplificar

- cos (x) > - 2

- cos (x) > - 2

Multiplicar ambos lados por

- 1

- cos (x) > - 2

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- cos (x)) (- 1) < (- 2) (- 1)

Simplificar

cos (x) < 2

cos (x) < 2

Encontrar los signos de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontrar puntos de singularidad

Encontrar los ceros del denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir en una tabla:

2 - cos (x) cos (x) \frac{2 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Sin definir 0 < cos (x) < 2 + + + cos (x) = 2 0 + 0 cos (x) > 2 - + -

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

Mezclar intervalos sobrepuestos

cos (x) < 0 or cos (x) = 2 or cos (x) > 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) < 0

cos (x) = 2

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

cos (x) < 0 or cos (x) = 2

cos (x) > 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 or cos (x) \geq 2

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Para

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Simplificar

2 π - \frac{π}{2}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Sumar elementos similares:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Falso para todo

x \in R

cos (x) \geq 2

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar los rangos

(- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or x = π + 2 πn) and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

x = π + 2 πn

Ejemplos populares

2-4sin(3x)0<= x<= 2pi

2 - 4 sin (3 x) 0 \leq x \leq 2 π

(2cos(t))(t-cos(t))0<t<2pi

(2 cos (t)) (t - cos (t)) 0 < t < 2 π

0<2sin(x)cos(x)<2sqrt(2)

0 < 2 sin (x) cos (x) < 22

cot(θ)>0\land csc(θ)<0

cot (θ) > 0 and csc (θ) < 0

sin(A)=(-4)/5 \land cos(A)>0,cos(A)

sin (A) = \frac{- 4}{5} and cos (A) > 0, cos (A)