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受欢迎的三角函数 >

-1<sec(x)<1

解答

- 1 < sec (x) < 1

解答

对所有 x \in R 为假

求解步骤

- 1 < sec (x) < 1

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

- 1 < sec (x) and sec (x) < 1

- 1 < sec (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 < sec (x)

交换两边

sec (x) > - 1

用 sin, cos 表示

sec (x) > - 1

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

改写为标准形式

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

两边加上

1

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > - 1 + 1

化简

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > 0

化简

\frac{1}{cos ( x )} + 1 : \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

乘以:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

确定区间

确定

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

符号

确定

1 + cos (x)

符号

1 + cos (x) = 0 : cos (x) = - 1

1 + cos (x) = 0

将

1

到右边

1 + cos (x) = 0

两边减去

1

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

化简

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

1 + cos (x) < 0 : cos (x) < - 1

1 + cos (x) < 0

将

1

到右边

1 + cos (x) < 0

两边减去

1

1 + cos (x) - 1 < 0 - 1

化简

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

1 + cos (x) > 0 : cos (x) > - 1

1 + cos (x) > 0

将

1

到右边

1 + cos (x) > 0

两边减去

1

1 + cos (x) - 1 > 0 - 1

化简

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

1 + cos (x) cos (x) \frac{1 + c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 cos (x) > 0 + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) < - 1

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y < - 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

对于

cos (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

化简

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并区间

对所有 x \in R 为假 or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1

用 sin, cos 表示

sec (x) < 1

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} < 1

\frac{1}{cos ( x )} < 1

改写为标准形式

\frac{1}{cos ( x )} < 1

两边减去

1

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 1 - 1

化简

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 0

化简

\frac{1}{cos ( x )} - 1 : \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 1

将项转换为分式:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

乘以:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

确定区间

确定

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

符号

确定

1 - cos (x)

符号

1 - cos (x) = 0 : cos (x) = 1

1 - cos (x) = 0

将

1

到右边

1 - cos (x) = 0

两边减去

1

1 - cos (x) - 1 = 0 - 1

化简

- cos (x) = - 1

- cos (x) = - 1

两边除以

- 1

- cos (x) = - 1

两边除以

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

化简

cos (x) = 1

cos (x) = 1

1 - cos (x) < 0 : cos (x) > 1

1 - cos (x) < 0

将

1

到右边

1 - cos (x) < 0

两边减去

1

1 - cos (x) - 1 < 0 - 1

化简

- cos (x) < - 1

- cos (x) < - 1

在两边乘以

- 1

- cos (x) < - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

化简

cos (x) > 1

cos (x) > 1

1 - cos (x) > 0 : cos (x) < 1

1 - cos (x) > 0

将

1

到右边

1 - cos (x) > 0

两边减去

1

1 - cos (x) - 1 > 0 - 1

化简

- cos (x) > - 1

- cos (x) > - 1

在两边乘以

- 1

- cos (x) > - 1

两边乘以 -1（不等式变号）

(- cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

化简

cos (x) < 1

cos (x) < 1

确定

cos (x)

符号

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

找到奇点

找到分母的零解

cos (x) : cos (x) = 0

总结如下表：

1 - cos (x) cos (x) \frac{1 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 未定义 0 < cos (x) < 1 + + + cos (x) = 1 0 + 0 cos (x) > 1 - + -

确定满足所需条件的区间：

< 0

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

对于

cos (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

化简

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

化简

2 π - \frac{π}{2}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

同类项相加:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) > 1 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) > 1

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

合并区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为假

流行的例子

-1<tan(x/2)<-1/5

- 1 < tan (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{5}

1 \leq sin (θ) < 3

cos(θ)>0\land sin(θ)<0

cos (θ) > 0 and sin (θ) < 0

tan(θ)=1\land cos(θ)>0,csc(θ)

tan (θ) = 1 and cos (θ) > 0, csc (θ)

- 1 < sin (x) \leq 0