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受欢迎的三角函数 >

sin(x)<= sin^2(x)<= (sqrt(3))/2 sin(x)

解答

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

解答

x = π + 2 πn

+1

十进制

x = 3.14159 \dots + 2 πn

求解步骤

sin (x) \leq sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

sin (x) \leq sin^{2} (x) and sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

sin (x) \leq sin^{2} (x) : x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq sin^{2} (x)

令

: u = sin (x)

u \leq u^{2}

u \leq u^{2} : u \leq 0 or u \geq 1

u \leq u^{2}

改写为标准形式

u \leq u^{2}

两边减去

u^{2}

u - u^{2} \leq u^{2} - u^{2}

化简

u - u^{2} \leq 0

u - u^{2} \leq 0

分解

u - u^{2} : - u (u - 1)

u - u^{2}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

因式分解出通项

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) \leq 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- u (u - 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

化简

u (u - 1) \geq 0

确定区间

确定

u (u - 1)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

合并重叠的区间

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < 0

or

u = 0

u \leq 0

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq 0

or

u = 1

u \leq 0 or u = 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq 0 or u = 1

or

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u = sin (x)

代回

sin (x) \leq 0 or sin (x) \geq 1

sin (x) \leq 0 : - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \leq 0

对于

sin (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq arcsin (0) + 2 πn

化简

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

化简

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin (x) \geq 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq 1

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (1) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (1) + 2 πn

化简

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

化简

π - arcsin (1) : \frac{π}{2}

π - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{2}

化简

π - \frac{π}{2}

将项转换为分式:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{2}

同类项相加:

2 π - π = π

= \frac{π}{2}

= \frac{π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{2} + 2 πn

化简

x = \frac{π}{2} + 2 πn

合并区间

- π + 2 πn \leq x \leq 2 πn or x = \frac{π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x) : 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin^{2} (x) \leq \frac{3}{2} sin (x)

令

: u = sin (x)

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

u^{2} \leq \frac{3}{2} u : 0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

改写为标准形式

u^{2} \leq \frac{3}{2} u

两边减去

\frac{3}{2} u

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq \frac{3}{2} u - \frac{3}{2} u

化简

u^{2} - \frac{3}{2} u \leq 0

在两边乘以

2

u^{2} \cdot 2 - \frac{3}{2} u \cdot 2 \leq 0 \cdot 2

2 u^{2} - 3 u \leq 0

2 u^{2} - 3 u \leq 0

分解

2 u^{2} - 3 u : u (2 u - 3)

2 u^{2} - 3 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - 3 u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1 \cdot 2 3)

数字相乘:

1 \cdot 2 = 2

= u (2 u - 3)

u (2 u - 3) \leq 0

确定区间

确定

u (2 u - 3)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

2 u - 3

符号

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

将

3

到右边

2 u - 3 = 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

化简

2 u = 3

2 u = 3

两边除以

2

2 u = 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

化简

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

将

3

到右边

2 u - 3 < 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

化简

2 u < 3

2 u < 3

两边除以

2

2 u < 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

化简

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

将

3

到右边

2 u - 3 > 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

化简

2 u > 3

2 u > 3

两边除以

2

2 u > 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

化简

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

总结如下表：

u 2 u - 3 u (2 u - 3) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

u = 0 or 0 < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

合并重叠的区间

0 \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u = 0

or

0 < u < \frac{3}{2}

0 \leq u < \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

0 \leq u < \frac{3}{2}

or

u = \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

0 \leq u \leq \frac{3}{2}

u = sin (x)

代回

0 \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

0 \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

0 \leq sin (x) : 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

0 \leq sin (x)

交换两边

sin (x) \geq 0

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (0) + 2 πn

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

化简

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

化简

2 πn \leq x \leq π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} : - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2}

对于

sin (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

化简

- π - arcsin (\frac{3}{2}) : - \frac{4 π}{3}

- π - arcsin (\frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{3}

化简

- π - \frac{π}{3}

将项转换为分式:

π = \frac{π 3}{3}

= - \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 - π}{3}

同类项相加:

- 3 π - π = - 4 π

= \frac{- 4 π}{3}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 π}{3}

= - \frac{4 π}{3}

化简

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

合并区间

2 πn \leq x \leq π + 2 πn and - \frac{4 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn

合并重叠的区间

2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

合并区间

(x = \frac{π}{2} + 2 πn or - π + 2 πn \leq x \leq 2 πn) and (2 πn \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn)

合并重叠的区间

x = π + 2 πn

流行的例子

-1<= cos(x-pi/4)<= 1

- 1 \leq cos (x - \frac{π}{4}) \leq 1

sin(θ)=13\land 0<θ<pi^2,2θ

sin (θ) = 13 and 0 < θ < π^{2}, 2 θ

sin(7)(x)<sin(2)(x)+cos(7)(x)<cos(2)(x)

sin (7) (x) < sin (2) (x) + cos (7) (x) < cos (2) (x)

0 < sin (x) < 1

tan(θ)=-5/2 \land cos(θ)<0

tan (θ) = - \frac{5}{2} and cos (θ) < 0