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tan(x)+cot(x)=6,sin^6(x)+cos^6(x)

Solución

tan (x) + cot (x) = 6, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

tan (x) + cot (x) = 6, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Restar

6

de ambos lados

tan (x) + cot (x) - 6 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 6 + cot (x) + tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )}

- 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Usando el método de sustitución

- 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Sea:

cot (x) = u

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0 : u = 3 + 22, u = 3 - 22

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 6 u + uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 6 u + uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

Resolver

- 6 u + u^{2} + 1 = 0 : u = 3 + 22, u = 3 - 22

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Restar:

36 - 4 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Factorizar

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Factorizar

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 6 + u + \frac{1}{u}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Sustituir en la ecuación

u = cot (x)

cot (x) = 3 + 22, cot (x) = 3 - 22

cot (x) = 3 + 22, cot (x) = 3 - 22

cot (x) = 3 + 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x) :

Sin solución

cot (x) = 3 + 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = 3 + 22

Soluciones generales para

cot (x) = 3 + 22

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (3 + 22) + πn

x = arccot (3 + 22) + πn

Soluciones para el rango

sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cot (x) = 3 - 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x) :

Sin solución

cot (x) = 3 - 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cot (x) = 3 - 22

Soluciones generales para

cot (x) = 3 - 22

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (3 - 22) + πn

x = arccot (3 - 22) + πn

Soluciones para el rango

sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

3cos(x)=3cos(2x)

3 cos (x) = 3 cos (2 x)

solvefor y,cos(2x-3y)=e^{-x}resolver para

y, cos (2 x - 3 y) = e^{- x}

csc(θ)=cot(θ)+1

csc (θ) = cot (θ) + 1

sinh(x)-5cosh(x)=-7

sinh (x) - 5 cosh (x) = - 7

3csc(θ)-5=0

3 csc (θ) - 5 = 0