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人気のある三角関数 >

2sin(x)+5cos(x)=4

解

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

解

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

+1

度

x = 63.83252 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 339.77029 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

両辺から

5 cos (x)

を引く

2 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

両辺を2乗する

(2 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

両辺から

(4 - 5 cos (x))^{2}

を引く

4 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

拡張

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

簡素化

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 16 + 4

類似した元を足す:

- 25 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 29 cos^{2} (x)

= - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 4

数を足す/引く:

- 16 + 4 = - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

置換で解く

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

解くとthe二次式

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 29, b = 40, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12) = 413

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12)

規則を適用

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12

数を乗じる:

4 \cdot 29 \cdot 12 = 1392

= 4 0^{2} - 1392

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1392

数を引く:

1600 - 1392 = 208

= 208

以下の素因数分解:

208 : 2^{4} \cdot 13

208

2082208 = 104 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 104

1042104 = 52 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 52

52252 = 26 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26226 = 13 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 13 2^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 13

改良

= 413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 13}{2 ( - 29 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

u = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

\frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 4 13}{- 2 \cdot 29}

数を乗じる:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 + 4 13}{- 58}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 + 413 = - (40 - 413)

= \frac{40 - 4 13}{58}

因数

40 - 413 : 4 (10 - 13)

40 - 413

書き換え

= 4 \cdot 10 - 413

共通項をくくり出す

4

= 4 (10 - 13)

= \frac{4 ( 10 - 13 )}{58}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

u = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

\frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 4 13}{- 2 \cdot 29}

数を乗じる:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 - 4 13}{- 58}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 413 = - (40 + 413)

= \frac{40 + 4 13}{58}

因数

40 + 413 : 4 (10 + 13)

40 + 413

書き換え

= 4 \cdot 10 + 413

共通項をくくり出す

4

= 4 (10 + 13)

= \frac{4 ( 10 + 13 )}{58}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

二次equationの解:

u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

改良

0.40996 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

改良

5.38313 \dots = 4

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

改良

4 = 4

\Rightarrow 真

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

3cos(x)=2-sin(x)

3 cos (x) = 2 - sin (x)

cos(2x)=2-3sin(x)

cos (2 x) = 2 - 3 sin (x)

arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

arcsin (x) + arcsin (1 - x) = arccos (x)

3cos^2(x)+1=4sin(x)

3 cos^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

[2sin(4x)-1]*[1+tan(x)]=0

[2 sin (4 x) - 1] \cdot [1 + tan (x)] = 0