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2sin(x)+5cos(x)=4

Solución

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Solución

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

Grados

x = 63.83252 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 339.77029 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Restar

5 cos (x)

de ambos lados

2 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

Restar

(4 - 5 cos (x))^{2}

de ambos lados

4 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 16 + 4

Sumar elementos similares:

- 25 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 29 cos^{2} (x)

= - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 4

Sumar/restar lo siguiente:

- 16 + 4 = - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

= 40 cos (x) - 29 cos^{2} (x) - 12

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 12 - 29 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

- 12 - 29 u^{2} + 40 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 29 u^{2} + 40 u - 12 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 29, b = 40, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 29 ) ( - 12 )}{2 ( - 29 )}

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12) = 413

4 0^{2} - 4 (- 29) (- 12)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 29 \cdot 12

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 29 \cdot 12 = 1392

= 4 0^{2} - 1392

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1392

Restar:

1600 - 1392 = 208

= 208

Descomposición en factores primos de

208 : 2^{4} \cdot 13

208

208

divida por

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 104

104

divida por

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 52

52

divida por

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

divida por

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

= 2^{4} \cdot 13

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 13 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 13

Simplificar

= 413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 13}{2 ( - 29 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

u = \frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

\frac{- 40 + 4 13}{2 ( - 29 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 4 13}{- 2 \cdot 29}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 + 4 13}{- 58}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 + 413 = - (40 - 413)

= \frac{40 - 4 13}{58}

Factorizar

40 - 413 : 4 (10 - 13)

40 - 413

Reescribir como

= 4 \cdot 10 - 413

Factorizar el termino común

4

= 4 (10 - 13)

= \frac{4 ( 10 - 13 )}{58}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

u = \frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )} : \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

\frac{- 40 - 4 13}{2 ( - 29 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 4 13}{- 2 \cdot 29}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 40 - 4 13}{- 58}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 413 = - (40 + 413)

= \frac{40 + 4 13}{58}

Factorizar

40 + 413 : 4 (10 + 13)

40 + 413

Reescribir como

= 4 \cdot 10 + 413

Factorizar el termino común

4

= 4 (10 + 13)

= \frac{4 ( 10 + 13 )}{58}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, u = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}, cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 ( 10 - 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29} : x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 ( 10 + 13 )}{29}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

por

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Simplificar

4 = 4

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

por

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Simplificar

0.40996 \dots = 4

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

por

x = arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Simplificar

5.38313 \dots = 4

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

Multiplicar

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4

por

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1

2 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 π 1) = 4

Simplificar

4 = 4

\Rightarrow Verdadero

x = arccos (\frac{2 ( 10 - 13 )}{29}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 10 + 13 )}{29}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.11408 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35307 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

3cos(x)=2-sin(x)

3 cos (x) = 2 - sin (x)

cos(2x)=2-3sin(x)

cos (2 x) = 2 - 3 sin (x)

sin(θ/2)= 1/2 sin(θ)

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1}{2} sin (θ)

arcsin(x)+arcsin(1-x)=arccos(x)

arcsin (x) + arcsin (1 - x) = arccos (x)

0=1+cos(θ)

0 = 1 + cos (θ)