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Popular Trigonometria >

2tan^4(x)-tan^2(x)-15=0

Solução

2 tan^{4} (x) - tan^{2} (x) - 15 = 0

Solução

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

2 tan^{4} (x) - tan^{2} (x) - 15 = 0

Usando o método de substituição

2 tan^{4} (x) - tan^{2} (x) - 15 = 0

Sea:

tan (x) = u

2 u^{4} - u^{2} - 15 = 0

2 u^{4} - u^{2} - 15 = 0 : u = 3, u = - 3, u = i \frac{5}{2}, u = - i \frac{5}{2}

2 u^{4} - u^{2} - 15 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

2 v^{2} - v - 15 = 0

Resolver

2 v^{2} - v - 15 = 0 : v = 3, v = - \frac{5}{2}

2 v^{2} - v - 15 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 v^{2} - v - 15 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 1, c = - 15

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 15 )}{2 \cdot 2}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 15 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 15) = 11

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 15)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 15

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 15 = 120

4 \cdot 2 \cdot 15

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 15 = 120

= 120

= 1 + 120

Somar:

1 + 120 = 121

= 121

Fatorar o número:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

1 1^{2} = 11

= 11

v_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 11}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 2}, v_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 2}

v = \frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 2} : 3

\frac{- ( - 1 ) + 11}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 + 11}{2 \cdot 2}

Somar:

1 + 11 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{4}

Dividir:

\frac{12}{4} = 3

= 3

v = \frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 2} : - \frac{5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 11}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1 - 11}{2 \cdot 2}

Subtrair:

1 - 11 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 10}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = 3, v = - \frac{5}{2}

v = 3, v = - \frac{5}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = 3 : u = 3, u = - 3

u^{2} = 3

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 3, u = - 3

Resolver

u^{2} = - \frac{5}{2} : u = i \frac{5}{2}, u = - i \frac{5}{2}

u^{2} = - \frac{5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{5}{2}, u = - - \frac{5}{2}

Simplificar

- \frac{5}{2} : i \frac{5}{2}

- \frac{5}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- \frac{5}{2} = - 1 \frac{5}{2}

= - 1 \frac{5}{2}

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= i \frac{5}{2}

Simplificar

- - \frac{5}{2} : - i \frac{5}{2}

- - \frac{5}{2}

Simplificar

- \frac{5}{2} : i \frac{5}{2}

- \frac{5}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- \frac{5}{2} = - 1 \frac{5}{2}

= - 1 \frac{5}{2}

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= i \frac{5}{2}

= - i \frac{5}{2}

u = i \frac{5}{2}, u = - i \frac{5}{2}

As soluções são

u = 3, u = - 3, u = i \frac{5}{2}, u = - i \frac{5}{2}

Substituir na equação

u = tan (x)

tan (x) = 3, tan (x) = - 3, tan (x) = i \frac{5}{2}, tan (x) = - i \frac{5}{2}

tan (x) = 3, tan (x) = - 3, tan (x) = i \frac{5}{2}, tan (x) = - i \frac{5}{2}

tan (x) = 3 : x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = 3

Soluções gerais para

tan (x) = 3

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = - 3 : x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = - 3

Soluções gerais para

tan (x) = - 3

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = i \frac{5}{2} :

Sem solução

tan (x) = i \frac{5}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

tan (x) = - i \frac{5}{2} :

Sem solução

tan (x) = - i \frac{5}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)=-sqrt(1/2)

cos (x) = - \frac{1}{2}

6cos(θ)=-6(1+cos(θ))

6 cos (θ) = - 6 (1 + cos (θ))

2sin^2(x)+5sin(x)+3=0

2 sin^{2} (x) + 5 sin (x) + 3 = 0

cos(A)= 4/5

cos (A) = \frac{4}{5}

arcsin(x-2)= pi/6

arcsin (x - 2) = \frac{π}{6}