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Beliebt Trigonometrie >

tan^3(x)-tan^2(x)-3tan(x)+3=0

Lösung

tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 3 = 0

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

+1

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 3 = 0

Löse mit Substitution

tan^{3} (x) - tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 3 = 0

Angenommen:

tan (x) = u

u^{3} - u^{2} - 3 u + 3 = 0

u^{3} - u^{2} - 3 u + 3 = 0 : u = 1, u = - 3, u = 3

u^{3} - u^{2} - 3 u + 3 = 0

Faktorisiere

u^{3} - u^{2} - 3 u + 3 : (u - 1) (u + 3) (u - 3)

u^{3} - u^{2} - 3 u + 3

= (u^{3} - u^{2}) + (- 3 u + 3)

Klammere

- 3

aus

- 3 u + 3

aus

: - 3 (u - 1)

- 3 u + 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (u - 1)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} - u^{2}

aus

: u^{2} (u - 1)

u^{3} - u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u - 1)

= - 3 (u - 1) + u^{2} (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (u^{2} - 3)

Faktorisiere

u^{2} - 3 : (u + 3) (u - 3)

u^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= u^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (3)^{2} = (u + 3) (u - 3)

= (u + 3) (u - 3)

= (u - 1) (u + 3) (u - 3)

(u - 1) (u + 3) (u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or u + 3 = 0 or u - 3 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

u = - 3

u = - 3

Löse

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

u = 3

u = 3

Die Lösungen sind

u = 1, u = - 3, u = 3

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 1, tan (x) = - 3, tan (x) = 3

tan (x) = 1, tan (x) = - 3, tan (x) = 3

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = - 3 : x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = 3 : x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sinh(2x)+3cosh(2x)=4

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

sin (x) = 9

csc (θ) = 3

4sec(θ)=-5-tan^2(θ)

4 sec (θ) = - 5 - tan^{2} (θ)

cos(2x)=1-3sin(x)

cos (2 x) = 1 - 3 sin (x)