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Beliebt Trigonometrie >

sin(8x)+sin(4x)-0.5sin(6x)=0

Lösung

sin (8 x) + sin (4 x) - 0.5 sin (6 x) = 0

Lösung

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}, x = \frac{1.31811 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.31811 \dots}{2} + πn

Grad

x = 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 37.76124 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 142.23875 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (8 x) + sin (4 x) - 0.5 sin (6 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (4 x) + sin (8 x) - 0.5 sin (6 x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= - 0.5 sin (6 x) + 2 sin (\frac{4 x + 8 x}{2}) cos (\frac{4 x - 8 x}{2})

2 sin (\frac{4 x + 8 x}{2}) cos (\frac{4 x - 8 x}{2}) = 2 cos (2 x) sin (6 x)

2 sin (\frac{4 x + 8 x}{2}) cos (\frac{4 x - 8 x}{2})

\frac{4 x + 8 x}{2} = 6 x

\frac{4 x + 8 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 x + 8 x = 12 x

= \frac{12 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{2} = 6

= 6 x

= 2 sin (6 x) cos (\frac{4 x - 8 x}{2})

\frac{4 x - 8 x}{2} = - 2 x

\frac{4 x - 8 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 x - 8 x = - 4 x

= \frac{- 4 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= - 2 x

= 2 sin (6 x) cos (- 2 x)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= 2 cos (2 x) sin (6 x)

= - 0.5 sin (6 x) + 2 cos (2 x) sin (6 x)

- 0.5 sin (6 x) + 2 cos (2 x) sin (6 x) = 0

Faktorisiere

- 0.5 sin (6 x) + 2 cos (2 x) sin (6 x) : sin (6 x) (2 cos (2 x) - 0.5)

- 0.5 sin (6 x) + 2 cos (2 x) sin (6 x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (6 x)

= sin (6 x) (- 0.5 + 2 cos (2 x))

sin (6 x) (2 cos (2 x) - 0.5) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (6 x) = 0 or 2 cos (2 x) - 0.5 = 0

sin (6 x) = 0 : x = \frac{πn}{3}, x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

sin (6 x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (6 x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

6 x = 0 + 2 πn, 6 x = π + 2 πn

6 x = 0 + 2 πn, 6 x = π + 2 πn

Löse

6 x = 0 + 2 πn : x = \frac{πn}{3}

6 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

6 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 x}{6} = \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

x = \frac{πn}{3}

x = \frac{πn}{3}

Löse

6 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

6 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

2 cos (2 x) - 0.5 = 0 : x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

2 cos (2 x) - 0.5 = 0

Verschiebe

0.5

auf die rechte Seite

2 cos (2 x) - 0.5 = 0

Füge

0.5

zu beiden Seiten hinzu

2 cos (2 x) - 0.5 + 0.5 = 0 + 0.5

Vereinfache

2 cos (2 x) = 0.5

2 cos (2 x) = 0.5

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (2 x) = 0.5

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( 2 x )}{2} = \frac{0.5}{2}

Vereinfache

cos (2 x) = 0.25

cos (2 x) = 0.25

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (2 x) = 0.25

Allgemeine Lösung für

cos (2 x) = 0.25

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

2 x = arccos (0.25) + 2 πn, 2 x = 2 π - arccos (0.25) + 2 πn

2 x = arccos (0.25) + 2 πn, 2 x = 2 π - arccos (0.25) + 2 πn

Löse

2 x = arccos (0.25) + 2 πn : x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

2 x = arccos (0.25) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arccos (0.25) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

Löse

2 x = 2 π - arccos (0.25) + 2 πn : x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

2 x = 2 π - arccos (0.25) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 π - arccos (0.25) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}, x = \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn, x = π - \frac{arccos ( 0.25 )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}, x = \frac{1.31811 \dots}{2} + πn, x = π - \frac{1.31811 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

4sin^4(x)+3sin^2(x)-1=0

4 sin^{4} (x) + 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

(tan(x))^5-9tan(x)=0

(tan (x))^{5} - 9 tan (x) = 0

2cot^2(x)+2csc^2(x)=1+4csc(x)

2 cot^{2} (x) + 2 csc^{2} (x) = 1 + 4 csc (x)

sin(2θ)=cos(θ),0<= θ<2pi

sin (2 θ) = cos (θ), 0 \leq θ < 2 π

2cos^2(θ)-10=-cos(θ)-9

2 cos^{2} (θ) - 10 = - cos (θ) - 9