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90-70sin(x)-130cos(x)=0

Solución

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

Solución

x = 1.40923 \dots + 2 πn, x = - 0.42135 \dots + 2 πn

Grados

x = 80.74328 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 24.14177 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

Sumar

130 cos (x)

a ambos lados

90 - 70 sin (x) = 130 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(90 - 70 sin (x))^{2} = (130 cos (x))^{2}

Restar

(130 cos (x))^{2}

de ambos lados

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x)) : 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x))

(90 - 70 sin (x))^{2} : 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 90, b = 70 sin (x)

= 9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2}

Simplificar

9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2} : 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2}

9 0^{2} = 8100

9 0^{2}

9 0^{2} = 8100

= 8100

2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) = 12600 sin (x)

2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 90 \cdot 70 = 12600

= 12600 sin (x)

(70 sin (x))^{2} = 4900 sin^{2} (x)

(70 sin (x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 7 0^{2} sin^{2} (x)

7 0^{2} = 4900

= 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 16900 (1 - sin^{2} (x)) : - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

- 16900 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16900, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 16900 \cdot 1 - (- 16900) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 16900 \cdot 1 + 16900 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

16900 \cdot 1 = 16900

= - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

Simplificar

8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x) : 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) + 16900 sin^{2} (x) + 8100 - 16900

Sumar elementos similares:

4900 sin^{2} (x) + 16900 sin^{2} (x) = 21800 sin^{2} (x)

= - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) + 8100 - 16900

Sumar/restar lo siguiente:

8100 - 16900 = - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

- 8800 - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 8800 - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0 : u = \frac{63 + 13 137}{218}, u = \frac{63 - 13 137}{218}

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0

Dividir ambos lados entre

21800

- \frac{8800}{21800} - \frac{12600 u}{21800} + \frac{21800 u ^{2}}{21800} = \frac{0}{21800}

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - \frac{63 u}{109} - \frac{44}{109} = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - \frac{63 u}{109} - \frac{44}{109} = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - \frac{63}{109}, c = - \frac{44}{109}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm ( - \frac{63}{109} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - \frac{44}{109} )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm ( - \frac{63}{109} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - \frac{44}{109} )}{2 \cdot 1}

(- \frac{63}{109})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{44}{109}) = \frac{13 137}{109}

(- \frac{63}{109})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{44}{109})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- \frac{63}{109})^{2} + 4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109}

(- \frac{63}{109})^{2} = \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

(- \frac{63}{109})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- \frac{63}{109})^{2} = (\frac{63}{109})^{2}

= (\frac{63}{109})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109} = \frac{176}{109}

4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{44 \cdot 4}{109}

Multiplicar los numeros:

44 \cdot 4 = 176

= 1 \cdot \frac{176}{109}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{176}{109} = \frac{176}{109}

= \frac{176}{109}

= \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}} + \frac{176}{109}

\frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}} = \frac{3969}{11881}

\frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

6 3^{2} = 3969

= \frac{3969}{10 9 ^{2}}

10 9^{2} = 11881

= \frac{3969}{11881}

= \frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

Simplificar

\frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

en una fracción:

\frac{23153}{11881}

\frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

Mínimo común múltiplo de

11881, 109 : 11881

11881, 109

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

11881 : 109 \cdot 109

11881

11881

divida por

10911881 = 109 \cdot 109

= 109 \cdot 109

Descomposición en factores primos de

109 : 109

109

109

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 109

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

11881

109

= 109 \cdot 109

Multiplicar los numeros:

109 \cdot 109 = 11881

= 11881

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{176}{109} :

multiplicar el denominador y el numerador por

109

\frac{176}{109} = \frac{176 \cdot 109}{109 \cdot 109} = \frac{19184}{11881}

= \frac{3969}{11881} + \frac{19184}{11881}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3969 + 19184}{11881}

Sumar:

3969 + 19184 = 23153

= \frac{23153}{11881}

= \frac{23153}{11881}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{23153}{11881}

11881 = 109

11881

Descomponer el número en factores primos:

11881 = 10 9^{2}

= 10 9^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

10 9^{2} = 109

= 109

= \frac{23153}{109}

23153 = 13137

23153

Descomposición en factores primos de

23153 : 1 3^{2} \cdot 137

23153

23153

divida por

1323153 = 1781 \cdot 13

= 13 \cdot 1781

1781

divida por

131781 = 137 \cdot 13

= 13 \cdot 13 \cdot 137

13, 137

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 13 \cdot 13 \cdot 137

= 1 3^{2} \cdot 137

= 1 3^{2} \cdot 137

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 137 1 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 3^{2} = 13

= 13137

= \frac{13 137}{109}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1} : \frac{63 + 13 137}{218}

\frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{\frac{63}{109} + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{63}{109} + \frac{13 137}{109}}{2}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{63 + 13 137}{109}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{63 + 13 137}{109}

= \frac{\frac{63 + 13 137}{109}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{63 + 13 137}{109 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

109 \cdot 2 = 218

= \frac{63 + 13 137}{218}

u = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1} : \frac{63 - 13 137}{218}

\frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{\frac{63}{109} - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{63}{109} - \frac{13 137}{109}}{2}

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{63 - 13 137}{109}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{63 - 13 137}{109}

= \frac{\frac{63 - 13 137}{109}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{63 - 13 137}{109 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

109 \cdot 2 = 218

= \frac{63 - 13 137}{218}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{63 + 13 137}{218}, u = \frac{63 - 13 137}{218}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}, sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}, sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218} : x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218} : x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

Multiplicar

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

por

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

Multiplicar

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

por

x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

41.82314 \dots = 0

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

Multiplicar

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

por

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

Multiplicar

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

por

x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Simplificar

237.25942 \dots = 0

\Rightarrow Falso

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.40923 \dots + 2 πn, x = - 0.42135 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2sin(x)sec(x)-2sqrt(3)sin(x)=0

2 sin (x) sec (x) - 23 sin (x) = 0

cot(a)sec(a)=cos(a)

cot (a) sec (a) = cos (a)

cos(2x)2cos(x)=2(2cos^2(x)-1)2cos(x)

cos (2 x) 2 cos (x) = 2 (2 cos^{2} (x) - 1) 2 cos (x)

4sin^2(x)=4cos(x)+1

4 sin^{2} (x) = 4 cos (x) + 1

2tan^2(x)+3tan(x)-2=0

2 tan^{2} (x) + 3 tan (x) - 2 = 0