English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

9sin(x)+6cos(x)=10

الحلّ

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

الحلّ

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

درجات

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

من الطرفين

6 cos (x)

اطرح

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

ربّع الطرفين

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

من الطرفين

(10 - 6 cos (x))^{2}

اطرح

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

بسّط:

120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

81 (1 - cos^{2} (x))

وسٌع:

81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

81 \cdot 1 = 81 :

اضرب الأعداد

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

بسّط:

120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

جمّع التعابير المتشابهة

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x) :

اجمع العناصر المتشابهة

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

- 100 + 81 = - 19 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

cos (x) = u :

على افتراض أنّ

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 117, b = 120, c = - 19

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892 :

اضرب الأعداد

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

14400 - 8892 = 5508 :

اطرح الأعداد

= 5508

5508

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

5508 = 2754 \cdot 2, 2

ينقسم على

5508

= 2 \cdot 2754

2754 = 1377 \cdot 2, 2

ينقسم على

2754

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

1377 = 459 \cdot 3, 3

ينقسم على

1377

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

459 = 153 \cdot 3, 3

ينقسم على

459

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

153 = 51 \cdot 3, 3

ينقسم على

153

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51 = 17 \cdot 3, 3

ينقسم على

51

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3, 17

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 17 2^{2} 3^{4}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

:فعْل قانون الجذور

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

بسّط

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

2 \cdot 117 = 234 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

120 - 1817

حلل إلى عوامل:

6 (20 - 317)

120 - 1817

أعد الكتابة كـ

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

6

قم باخراج العامل المشترك

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

6 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

2 \cdot 117 = 234 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

120 + 1817

حلل إلى عوامل:

6 (20 + 317)

120 + 1817

أعد الكتابة كـ

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

6

قم باخراج العامل المشترك

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

6 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{20 + 3 17}{39}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

u = cos (x)

استبدل مجددًا

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} :

حلول عامّة لـ

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

وحّد الحلول

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

عوّض

, 9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

في

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

بسّط

10 = 10

\Rightarrow صحيح

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

n = 1

استبدل

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

عوّض

, 9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

في

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

بسّط

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow خطأ

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

عوّض

, 9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

في

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

بسّط

10 = 10

\Rightarrow صحيح

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

n = 1

استبدل

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

عوّض

, 9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

في

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

بسّط

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow خطأ

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

cos(x)= 4/21

cos (x) = \frac{4}{21}

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

- 4 csc (x) = - csc^{2} (x) - 4

csc(7x+3)=sqrt(2)

csc (7 x + 3) = 2

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

2 sin^{4} (x) - 2 cos^{4} (x) = 1

18sin(x)=18cos(x)

18 sin (x) = 18 cos (x)