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4sin(θ)+4=(-3)/(sin(θ)-1)

Solución

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Solución

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grados

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Usando el método de sustitución

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Sea:

sin (θ) = u

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1}

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1}

Simplificar

\frac{- 3}{u - 1} : - \frac{3}{u - 1}

\frac{- 3}{u - 1}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{u - 1}

4 u + 4 = - \frac{3}{u - 1}

Multiplicar ambos lados por

u - 1

4 u + 4 = - \frac{3}{u - 1}

Multiplicar ambos lados por

u - 1

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - \frac{3}{u - 1} (u - 1)

Simplificar

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

Resolver

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

Desarrollar

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) : 4 u^{2} - 4

4 u (u - 1) + 4 (u - 1)

Expandir

4 u (u - 1) : 4 u^{2} - 4 u

4 u (u - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 u, b = u, c = 1

= 4 uu - 4 u \cdot 1

= 4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u

Simplificar

4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u : 4 u^{2} - 4 u

4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot 1 \cdot u = 4 u

4 \cdot 1 \cdot u

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u

= 4 u^{2} - 4 u

= 4 u^{2} - 4 u

= 4 u^{2} - 4 u + 4 (u - 1)

Expandir

4 (u - 1) : 4 u - 4

4 (u - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = u, c = 1

= 4 u - 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u - 4

= 4 u^{2} - 4 u + 4 u - 4

Sumar elementos similares:

- 4 u + 4 u = 0

= 4 u^{2} - 4

4 u^{2} - 4 = - 3

Mover

3

al lado izquierdo

4 u^{2} - 4 = - 3

Sumar

3

a ambos lados

4 u^{2} - 4 + 3 = - 3 + 3

Simplificar

4 u^{2} - 1 = 0

4 u^{2} - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 0, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

0^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 4

0^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 0 + 16

Sumar:

0 + 16 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 4}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 0 + 4 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4}

Restar:

- 0 - 4 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{- 3}{u - 1}

y comparar con cero

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

cos(θ)=0.707

cos (θ) = 0.707

1/((1+tan^2(o)+1))+1/((1+cot^2(o)))=1

\frac{1}{( 1 + tan ^{2} ( o ) + 1 )} + \frac{1}{( 1 + cot ^{2} ( o ) )} = 1

9(2sin^2(x)-1)=0

9 (2 sin^{2} (x) - 1) = 0

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+sin^4(x)=0

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

sin(9x)-cos(x)=0

sin (9 x) - cos (x) = 0