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Beliebt Trigonometrie >

cosh(2x)=2cosh(x)-1

Lösung

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Lösung

x = 0

Grad

x = 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 cosh (x) - 1

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1 : x = 0

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2

Vereinfache

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Wende Exponentenregel an

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

(u)^{2} + (u)^{- 2} = 2 (u + (u)^{- 1}) - 2

Löse

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2 : u = 1

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2

Fasse zusammen

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Vereinfache

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Vereinfache

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Vereinfache

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 1

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Schreibe

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

um:

2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

= 2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) - 2 u^{2}

Multipliziere aus

2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 u^{2} \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Vereinfache

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 2 u

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u ^{2}}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 u ^{2}}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Löse

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} : u = 1

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Verschiebe

2 u^{2}

auf die linke Seite

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Füge

2 u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Vereinfache

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3} + 2 u - 2 u

Vereinfache

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Verschiebe

2 u^{3}

auf die linke Seite

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Subtrahiere

2 u^{3}

von beiden Seiten

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 2 u^{3} - 2 u^{3}

Vereinfache

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Faktorisiere

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} - u^{2} + u - 1

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quotient = u^{3}

Multipliziere

u - 1

mit

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Substrahiere

u^{4} - u^{3}

von

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Deshalb

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{- u ^{3}}{u} = - u^{2}

Quotient = - u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

- u^{2} : - u^{3} + u^{2}

Substrahiere

- u^{3} + u^{2}

von

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u^{2} - 2 u + 1

Deshalb

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{2} - 2 u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quotient = u

Multipliziere

u - 1

mit

u : u^{2} - u

Substrahiere

u^{2} - u

von

u^{2} - 2 u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u + 1

Deshalb

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u + 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

u - 1

mit

- 1 : - u + 1

Substrahiere

- u + 1

von

- u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

Faktorisiere

u^{3} - u^{2} + u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 1)

u^{3} - u^{2} + u - 1

= (u^{3} - u^{2}) + (u - 1)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} - u^{2}

aus

: u^{2} (u - 1)

u^{3} - u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u - 1)

= (u - 1) + u^{2} (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (u^{2} + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

Fasse zusammen

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

u^{2} + 1 = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Deshalb ist die Lösung

u = 1

u = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u^{2} + u^{- 2}

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Nimm den/die Nenner von

2 (u + u^{- 1}) - 2

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1

u = 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

Graph

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