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人気のある三角関数 >

1/(cos^2(θ/2))=12cos(θ)

解

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 12 cos (θ)

解

θ = 1.42478 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.42478 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 81.63392 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 278.36607 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 12 cos (θ)

両辺から

12 cos (θ)

を引く

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ) = 0

簡素化

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ) : \frac{1 - 12 cos ^{2} ( \frac{θ}{2} ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

\frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - 12 cos (θ)

元を分数に変換する:

12 cos (θ) = \frac{12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} - \frac{12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 12 cos ( θ ) cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )}

\frac{1 - 12 cos ^{2} ( \frac{θ}{2} ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( \frac{θ}{2} )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - 12 cos^{2} (\frac{θ}{2}) cos (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

1 - 12 cos^{2} (\frac{θ}{2}) cos (θ)

次の恒等を使用する:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

2倍角の公式を使用

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

辺を交換する

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

両辺に

1

を足す

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

以下で両辺を割る

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

= 1 - 12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ)

12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ) = 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

12 \cdot \frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} cos (θ)

\frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2} = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

\frac{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{2}

乗じる

2 \cdot \frac{θ}{2} : θ

2 \cdot \frac{θ}{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{θ \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= θ

= \frac{1 + cos ( θ )}{2}

= 12 \cdot \frac{cos ( θ ) + 1}{2} cos (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) \cdot 12 cos ( θ )}{2}

数を割る:

\frac{12}{2} = 6

= 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

= 1 - 6 cos (θ) (cos (θ) + 1)

1 - (1 + cos (θ)) \cdot 6 cos (θ) = 0

置換で解く

1 - (1 + cos (θ)) \cdot 6 cos (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0 : u = - \frac{3 + 15}{6}, u = \frac{15 - 3}{6}

1 - (1 + u) \cdot 6 u = 0

拡張

1 - (1 + u) \cdot 6 u : 1 - 6 u - 6 u^{2}

1 - (1 + u) \cdot 6 u

= 1 - 6 u (1 + u)

拡張

- 6 u (1 + u) : - 6 u - 6 u^{2}

- 6 u (1 + u)

分配法則を適用する:

a (b + c) = ab + a c

a = - 6 u, b = 1, c = u

= - 6 u \cdot 1 + (- 6 u) u

マイナス・プラスの規則を適用する

+ (- a) = - a

= - 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu

簡素化

- 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu : - 6 u - 6 u^{2}

- 6 \cdot 1 \cdot u - 6 uu

6 \cdot 1 \cdot u = 6 u

6 \cdot 1 \cdot u

数を乗じる:

6 \cdot 1 = 6

= 6 u

6 uu = 6 u^{2}

6 uu

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 6 u^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= 6 u^{2}

= - 6 u - 6 u^{2}

= - 6 u - 6 u^{2}

= 1 - 6 u - 6 u^{2}

1 - 6 u - 6 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} - 6 u + 1 = 0

解くとthe二次式

- 6 u^{2} - 6 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 6, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

(- 6)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1 = 215

(- 6)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1

規則を適用

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 6^{2} + 24

6^{2} = 36

= 36 + 24

数を足す:

36 + 24 = 60

= 60

以下の素因数分解:

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60260 = 30 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 30

30230 = 15 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15315 = 5 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 5

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

改良

= 215

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 15}{2 ( - 6 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )} : - \frac{3 + 15}{6}

\frac{- ( - 6 ) + 2 15}{2 ( - 6 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 + 2 15}{- 2 \cdot 6}

数を乗じる:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6 + 2 15}{- 12}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 + 2 15}{12}

キャンセル

\frac{6 + 2 15}{12} : \frac{3 + 15}{6}

\frac{6 + 2 15}{12}

因数

6 + 215 : 2 (3 + 15)

6 + 215

書き換え

= 2 \cdot 3 + 215

共通項をくくり出す

2

= 2 (3 + 15)

= \frac{2 ( 3 + 15 )}{12}

共通因数を約分する:

2

= \frac{3 + 15}{6}

= - \frac{3 + 15}{6}

u = \frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )} : \frac{15 - 3}{6}

\frac{- ( - 6 ) - 2 15}{2 ( - 6 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 - 2 15}{- 2 \cdot 6}

数を乗じる:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6 - 2 15}{- 12}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

6 - 215 = - (215 - 6)

= \frac{2 15 - 6}{12}

因数

215 - 6 : 2 (15 - 3)

215 - 6

書き換え

= 215 - 2 \cdot 3

共通項をくくり出す

2

= 2 (15 - 3)

= \frac{2 ( 15 - 3 )}{12}

共通因数を約分する:

2

= \frac{15 - 3}{6}

二次equationの解:

u = - \frac{3 + 15}{6}, u = \frac{15 - 3}{6}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}, cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}, cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6} :

解なし

cos (θ) = - \frac{3 + 15}{6}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

解なし

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6} : θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{15 - 3}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{15 - 3}{6}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 1.42478 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.42478 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sqrt(3)cos(x)-sin(x)=sqrt(2)

3 cos (x) - sin (x) = 2

cos(x)=(sqrt(34))/(sqrt(70))

cos (x) = \frac{34}{70}

-3sin(t)+4cos(t)=0

- 3 sin (t) + 4 cos (t) = 0

cos (θ) = \frac{8}{6}

tan(x)=(-2sqrt(2))/2

tan (x) = \frac{- 2 2}{2}