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cos^3(θ)+cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

解

cos^{3} (θ) + cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

解

θ = π + 2 πn, θ = 2 πn

+1

度

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cos^{3} (θ) + cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

置換で解く

cos^{3} (θ) + cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

仮定:

cos (θ) = u

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0 : u = - 1, u = 1

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0

因数

u^{3} + u^{2} - u - 1 : (u + 1)^{2} (u - 1)

u^{3} + u^{2} - u - 1

= (u^{3} + u^{2}) + (- u - 1)

- 1

を

- u - 1 : - (u + 1)

からくくり出す

- u - 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (u + 1)

u^{2}

を

u^{3} + u^{2} : u^{2} (u + 1)

からくくり出す

u^{3} + u^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

共通項をくくり出す

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - (u + 1) + u^{2} (u + 1)

共通項をくくり出す

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 1)

因数

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

1

を書き換え

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u + 1) (u - 1)

改良

= (u + 1)^{2} (u - 1)

(u + 1)^{2} (u - 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

解く

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

解く

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

1

を右側に移動します

u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

u = 1

u = 1

解答は

u = - 1, u = 1

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 1

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 1

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

以下の一般解

cos (θ) = - 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

以下の一般解

cos (θ) = 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

解く

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = π + 2 πn, θ = 2 πn

人気の例

2sin^2(x)-sqrt(2sin(x))=0

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

9sin^2(x)-6sin(x)+1=0

9 sin^{2} (x) - 6 sin (x) + 1 = 0

solvefor y,ln(x)=arctan(y/x)解く

y, ln (x) = arctan (\frac{y}{x})

cos(a)+1=4cos(a)+1

cos (a) + 1 = 4 cos (a) + 1

6cos(x)+3sin(x)=5

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5