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csc^2(x)=3csc(x)+4

Solución

csc^{2} (x) = 3 csc (x) + 4

Solución

x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = π - 0.25268 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grados

x = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

csc^{2} (x) = 3 csc (x) + 4

Usando el método de sustitución

csc^{2} (x) = 3 csc (x) + 4

Sea:

csc (x) = u

u^{2} = 3 u + 4

u^{2} = 3 u + 4 : u = 4, u = - 1

u^{2} = 3 u + 4

Mover

4

al lado izquierdo

u^{2} = 3 u + 4

Restar

4

de ambos lados

u^{2} - 4 = 3 u + 4 - 4

Simplificar

u^{2} - 4 = 3 u

u^{2} - 4 = 3 u

Mover

3 u

al lado izquierdo

u^{2} - 4 = 3 u

Restar

3 u

de ambos lados

u^{2} - 4 - 3 u = 3 u - 3 u

Simplificar

u^{2} - 4 - 3 u = 0

u^{2} - 4 - 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 3 u - 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 3 u - 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 3, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 4 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 4 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 5

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Sumar:

9 + 16 = 25

= 25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 1} : 4

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 5}{2 \cdot 1}

Sumar:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8}{2}

Dividir:

\frac{8}{2} = 4

= 4

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 5}{2 \cdot 1}

Restar:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 4, u = - 1

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = 4, csc (x) = - 1

csc (x) = 4, csc (x) = - 1

csc (x) = 4 : x = arccsc (4) + 2 πn, x = π - arccsc (4) + 2 πn

csc (x) = 4

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (x) = 4

Soluciones generales para

csc (x) = 4

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (4) + 2 πn, x = π - arccsc (4) + 2 πn

x = arccsc (4) + 2 πn, x = π - arccsc (4) + 2 πn

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Soluciones generales para

csc (x) = - 1

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccsc (4) + 2 πn, x = π - arccsc (4) + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = π - 0.25268 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

4cot(2θ)=0

4 cot (2 θ) = 0

sin(60)=cos(x+10)

sin (6 0^{\circ}) = cos (x + 1 0^{\circ})

sin(2x)=682

sin (2 x) = 682

0=5*sin(2pi*(-0.25-x))

0 = 5 \cdot sin (2 π \cdot (- 0.25 - x))

cos(a)=(sqrt(2))/2

cos (a) = \frac{2}{2}