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Beliebt Trigonometrie >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

Lösung

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Löse mit Substitution

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

Faktorisiere

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 3, a_{n} = 4

Die Teiler von

a_{0} : 1, 3,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2, 4

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividiere

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

und des Teilers

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quotient = 4 u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Substrahiere

4 u^{3} - 4 u^{2}

von

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 4 u^{2} + u + 3

Deshalb

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividiere

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 4 u^{2} + u + 3

und des Teilers

u - 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Quotient = - 4 u

Multipliziere

u - 1

mit

- 4 u : - 4 u^{2} + 4 u

Substrahiere

- 4 u^{2} + 4 u

von

- 4 u^{2} + u + 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 3 u + 3

Deshalb

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividiere

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} : \frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 3 u + 3

und des Teilers

u - 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quotient = - 3

Multipliziere

u - 1

mit

- 3 : - 3 u + 3

Substrahiere

- 3 u + 3

von

- 3 u + 3

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

Faktorisiere

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

4 u^{2} - 4 u - 3

Definition

Faktoren von

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

12 : 2, 2, 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Primfaktoren von

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

12

selbst

1, 12

Die Faktoren von

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Negative Faktoren von

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 12,

prüfe, ob

u + v = - 4

Prüfe

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 6

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

Klammere

2 u

aus

4 u^{2} + 2 u

aus

: 2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (2 u + 1)

Klammere

- 3

aus

- 6 u - 3

aus

: - 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Löse

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=0.71

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

-2tan(x)+6=8

- 2 tan (x) + 6 = 8