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受欢迎的三角函数 >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

解答

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

解答

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

+1

度数

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

用替代法求解

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

令

: sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

因式分解

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

使用有理根定理

a_{0} = 3, a_{n} = 4

a_{0}

的除数

: 1, 3, a_{n}

的除数

: 1, 2, 4

因此，检验以下有理数:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

是表达式的根，所以因式分解

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

对

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

做除法:

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

将分子

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

商 = 4 u^{2}

将

u - 1

乘以

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

将

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

减去

4 u^{3} - 4 u^{2}

得到新的余数

余数 = - 4 u^{2} + u + 3

因此

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

对

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

做除法:

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

将分子

- 4 u^{2} + u + 3

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

商 = - 4 u

将

u - 1

乘以

- 4 u : - 4 u^{2} + 4 u

将

- 4 u^{2} + u + 3

减去

- 4 u^{2} + 4 u

得到新的余数

余数 = - 3 u + 3

因此

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

对

\frac{- 3 u + 3}{u - 1}

做除法:

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

将分子

- 3 u + 3

与除数

u - 1

的首项系数相除：

\frac{- 3 u}{u} = - 3

商 = - 3

将

u - 1

乘以

- 3 : - 3 u + 3

将

- 3 u + 3

减去

- 3 u + 3

得到新的余数

余数 = 0

因此

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

分解

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

将表达式拆分成组

4 u^{2} - 4 u - 3

定义

12

的因数:

1, 2, 3, 4, 6, 12

12

约数 (因数)

找到

12

的质因数:

2, 2, 3

12

12

除以

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 3

乘以

12

的质因数:

4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

添加质因数:

2, 3

将 1 和数字

12

自身相加

1, 12

12

的因数

1, 2, 3, 4, 6, 12

12

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

对于每两个因数

u * v = - 12

，检验是否

u + v = - 4

检验

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 6

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

从

4 u^{2} + 2 u

分解出因式

2 u

:

2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

将

4

改写为

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

因式分解出通项

2 u

= 2 u (2 u + 1)

从

- 6 u - 3

分解出因式

- 3

:

- 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

将

6

改写为

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

因式分解出通项

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

因式分解出通项

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

解

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

解

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

将

1

到右边

2 u + 1 = 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

2 u = - 1

2 u = - 1

两边除以

2

2 u = - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

解

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

将

3

到右边

2 u - 3 = 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

化简

2 u = 3

2 u = 3

两边除以

2

2 u = 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

化简

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

解为

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

u = sin (x)

代回

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

sin (x) = 1

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

无解

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

合并所有解

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

作图

流行的例子

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

- 2 tan (x) + 6 = 8