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2*sin^2(θ)=3(1-cos(θ))

Solución

2 \cdot sin^{2} (θ) = 3 (1 - cos (θ))

Solución

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Grados

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 sin^{2} (θ) = 3 (1 - cos (θ))

Restar

3 (1 - cos (θ))

de ambos lados

2 sin^{2} (θ) - 3 (1 - cos (θ)) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- (1 - cos (θ)) \cdot 3 + 2 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos (θ)) \cdot 3 + 2 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

- (1 - cos (θ)) \cdot 3 + 2 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 1

- (1 - cos (θ)) \cdot 3 + 2 (1 - cos^{2} (θ))

= - 3 (1 - cos (θ)) + 2 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

- 3 (1 - cos (θ)) : - 3 + 3 cos (θ)

- 3 (1 - cos (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos (θ)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos (θ)

= - 3 + 3 cos (θ) + 2 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

2 (1 - cos^{2} (θ)) : 2 - 2 cos^{2} (θ)

2 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (θ)

= - 3 + 3 cos (θ) + 2 - 2 cos^{2} (θ)

Simplificar

- 3 + 3 cos (θ) + 2 - 2 cos^{2} (θ) : 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 1

- 3 + 3 cos (θ) + 2 - 2 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 3 + 2

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 2 = - 1

= 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 1

= 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 1

= 3 cos (θ) - 2 cos^{2} (θ) - 1

- 1 - 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 - 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 1

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) (- 1) = 1

3^{2} - 4 (- 2) (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Restar:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 1}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 3 + 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 1}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 3 - 1 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = 1

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluciones generales para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Ejemplos populares

(sin(2x)+cos(2x))^2=2

(sin (2 x) + cos (2 x))^{2} = 2

1.5=6sin(x)

1.5 = 6 sin (x)

(2sin(x)-1)/(3*cos(x))=0

\frac{2 sin ( x ) - 1}{3 \cdot cos ( x )} = 0

tan(θ)= 34400/254

tan (θ) = \frac{34400}{254}

2sin(x)=-1,-pi<= x<= pi

2 sin (x) = - 1, - π \leq x \leq π