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tan^2(x)-sin(x)=tan^2(x)sin^2(x)

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解答

tan2(x)−sin(x)=tan2(x)sin2(x)

解答

x=2πn,x=π+2πn
+1
度数
x=0∘+360∘n,x=180∘+360∘n
求解步骤
tan2(x)−sin(x)=tan2(x)sin2(x)
两边减去 tan2(x)sin2(x)tan2(x)−sin(x)−tan2(x)sin2(x)=0
用 sin, cos 表示
−sin(x)+tan2(x)−sin2(x)tan2(x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)​=−sin(x)+(cos(x)sin(x)​)2−sin2(x)(cos(x)sin(x)​)2
化简 −sin(x)+(cos(x)sin(x)​)2−sin2(x)(cos(x)sin(x)​)2:cos2(x)−cos2(x)sin(x)+sin2(x)−sin4(x)​
−sin(x)+(cos(x)sin(x)​)2−sin2(x)(cos(x)sin(x)​)2
(cos(x)sin(x)​)2=cos2(x)sin2(x)​
(cos(x)sin(x)​)2
使用指数法则: (ba​)c=bcac​=cos2(x)sin2(x)​
sin2(x)(cos(x)sin(x)​)2=cos2(x)sin4(x)​
sin2(x)(cos(x)sin(x)​)2
(cos(x)sin(x)​)2=cos2(x)sin2(x)​
(cos(x)sin(x)​)2
使用指数法则: (ba​)c=bcac​=cos2(x)sin2(x)​
=cos2(x)sin2(x)​sin2(x)
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=cos2(x)sin2(x)sin2(x)​
sin2(x)sin2(x)=sin4(x)
sin2(x)sin2(x)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+csin2(x)sin2(x)=sin2+2(x)=sin2+2(x)
数字相加:2+2=4=sin4(x)
=cos2(x)sin4(x)​
=−sin(x)+cos2(x)sin2(x)​−cos2(x)sin4(x)​
合并分式 cos2(x)sin2(x)​−cos2(x)sin4(x)​:cos2(x)sin2(x)−sin4(x)​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=cos2(x)sin2(x)−sin4(x)​
=−sin(x)+cos2(x)sin2(x)−sin4(x)​
将项转换为分式: sin(x)=cos2(x)sin(x)cos2(x)​=−cos2(x)sin(x)cos2(x)​+cos2(x)sin2(x)−sin4(x)​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=cos2(x)−sin(x)cos2(x)+sin2(x)−sin4(x)​
=cos2(x)−cos2(x)sin(x)+sin2(x)−sin4(x)​
cos2(x)sin2(x)−sin4(x)−cos2(x)sin(x)​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=0sin2(x)−sin4(x)−cos2(x)sin(x)=0
分解 sin2(x)−sin4(x)−cos2(x)sin(x):sin(x)(sin(x)−sin3(x)−cos2(x))
sin2(x)−sin4(x)−cos2(x)sin(x)
使用指数法则: ab+c=abacsin4(x)=sin(x)sin3(x),sin2(x)=sin(x)sin(x)=sin(x)sin(x)−sin(x)sin3(x)−sin(x)cos2(x)
因式分解出通项 sin(x)=sin(x)(sin(x)−sin3(x)−cos2(x))
sin(x)(sin(x)−sin3(x)−cos2(x))=0
分别求解每个部分sin(x)=0orsin(x)−sin3(x)−cos2(x)=0
sin(x)=0:x=2πn,x=π+2πn
sin(x)=0
sin(x)=0的通解
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=0+2πn,x=π+2πn
x=0+2πn,x=π+2πn
解 x=0+2πn:x=2πn
x=0+2πn
0+2πn=2πnx=2πn
x=2πn,x=π+2πn
sin(x)−sin3(x)−cos2(x)=0:x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
sin(x)−sin3(x)−cos2(x)=0
使用三角恒等式改写
−cos2(x)+sin(x)−sin3(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=−(1−sin2(x))+sin(x)−sin3(x)
−(1−sin2(x)):−1+sin2(x)
−(1−sin2(x))
打开括号=−(1)−(−sin2(x))
使用加减运算法则−(−a)=a,−(a)=−a=−1+sin2(x)
=−1+sin2(x)+sin(x)−sin3(x)
−1+sin(x)+sin2(x)−sin3(x)=0
用替代法求解
−1+sin(x)+sin2(x)−sin3(x)=0
令:sin(x)=u−1+u+u2−u3=0
−1+u+u2−u3=0:u=1,u=−1
−1+u+u2−u3=0
改写成标准形式 an​xn+…+a1​x+a0​=0−u3+u2+u−1=0
因式分解 −u3+u2+u−1:−(u−1)2(u+1)
−u3+u2+u−1
因式分解出通项 −1=−(u3−u2−u+1)
分解 u3−u2−u+1:(u−1)(u+1)(u−1)
u3−u2−u+1
=(u3−u2)+(−u+1)
从 −u+1 分解出因式 −1:−(u−1)
−u+1
因式分解出通项 −1=−(u−1)
从 u3−u2 分解出因式 u2:u2(u−1)
u3−u2
使用指数法则: ab+c=abacu3=uu2=uu2−u2
因式分解出通项 u2=u2(u−1)
=−(u−1)+u2(u−1)
因式分解出通项 u−1=(u−1)(u2−1)
分解 u2−1:(u+1)(u−1)
u2−1
将 1 改写为 12=u2−12
使用平方差公式: x2−y2=(x+y)(x−y)u2−12=(u+1)(u−1)=(u+1)(u−1)
=(u−1)(u+1)(u−1)
=−(u−1)(u+1)(u−1)
整理后得=−(u−1)2(u+1)
−(u−1)2(u+1)=0
使用零因数法则: If ab=0then a=0or b=0u−1=0oru+1=0
解 u−1=0:u=1
u−1=0
将 1到右边
u−1=0
两边加上 1u−1+1=0+1
化简u=1
u=1
解 u+1=0:u=−1
u+1=0
将 1到右边
u+1=0
两边减去 1u+1−1=0−1
化简u=−1
u=−1
解为u=1,u=−1
u=sin(x)代回sin(x)=1,sin(x)=−1
sin(x)=1,sin(x)=−1
sin(x)=1:x=2π​+2πn
sin(x)=1
sin(x)=1的通解
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=2π​+2πn
x=2π​+2πn
sin(x)=−1:x=23π​+2πn
sin(x)=−1
sin(x)=−1的通解
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
x=23π​+2πn
x=23π​+2πn
合并所有解x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
合并所有解x=2πn,x=π+2πn,x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
因为方程对以下值无定义:2π​+2πn,23π​+2πnx=2πn,x=π+2πn

作图

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3cos(a)-1=03cos(a)−1=0tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4tan2(x)+tan(x)+cot(x)+cot2(x)=4tan(a)=0tan(a)=0cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0cos2(x)+3∣cos(x)∣−1=0cos^5(x)=sin(75)cos5(x)=sin(75∘)
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