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cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

Solución

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

Solución

x = 1.87839 \dots + 2 πn, x = - 1.87839 \dots + 2 πn, x = 1.26319 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.26319 \dots + 2 πn

Grados

x = 107.62439 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 107.62439 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 72.37560 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 287.62439 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

Usando el método de sustitución

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

u^{2} + 3 ∣ u ∣ - 1 = 0

u^{2} + 3 ∣ u ∣ - 1 = 0 : u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2}

u^{2} + 3 ∣ u ∣ - 1 = 0

Encontrar intervalos positivos y negativos

Encontrar intervalos para

∣ u ∣

u \geq 0

u \geq 0, ∣ u ∣ = u

Reescribir

∣ u ∣

para

u \geq 0 : ∣ u ∣ = u

Aplicar las propiedades de los valores absolutos: Pi

u \geq 0

entonces

∣ u ∣ = u

∣ u ∣ = u

u < 0

u < 0, ∣ u ∣ = - u

Reescribir

∣ u ∣

para

u < 0 : ∣ u ∣ = - u

Aplicar las propiedades de los valores absolutos: Pi

u < 0

entonces

∣ u ∣ = - u

∣ u ∣ = - u

Identificar los intervalos:

u < 0, u \geq 0

∣ u ∣ u < 0 - u \geq 0 +

u < 0, u \geq 0

u < 0, u \geq 0

Resolver la desigualdad con cada intervalo

u < 0, u \geq 0

Para

u < 0 : u = \frac{3 - 13}{2}

Para

u < 0

reescribir

u^{2} + 3 ∣ u ∣ - 1 = 0

como

u^{2} + 3 (- u) - 1 = 0

u^{2} + 3 (- u) - 1 = 0 : u = \frac{3 + 13}{2}, u = \frac{3 - 13}{2}

u^{2} + 3 (- u) - 1 = 0

Simplificar

u^{2} - 3 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 3 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 13

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} + 4

3^{2} = 9

= 9 + 4

Sumar:

9 + 4 = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 13}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1} : \frac{3 + 13}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 + 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 + 13}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1} : \frac{3 - 13}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 13}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{3 - 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{3 - 13}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3 + 13}{2}, u = \frac{3 - 13}{2}

Combinar los rangos

(u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{3 + 13}{2}) and (u < 0)

Mezclar intervalos sobrepuestos

u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{3 + 13}{2} and u < 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{3 + 13}{2}

u < 0

u = \frac{3 - 13}{2}

u = \frac{3 - 13}{2}

Para

u \geq 0 : u = \frac{- 3 + 13}{2}

Para

u \geq 0

reescribir

u^{2} + 3 ∣ u ∣ - 1 = 0

como

u^{2} + 3 u - 1 = 0

u^{2} + 3 u - 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 13}{2}, u = \frac{- 3 - 13}{2}

u^{2} + 3 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + 3 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 13

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} + 4

3^{2} = 9

= 9 + 4

Sumar:

9 + 4 = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 13}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 3 + 13}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 13}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 13}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 13}{2}

\frac{- 3 + 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 13}{2}

u = \frac{- 3 - 13}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 13}{2}

\frac{- 3 - 13}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 13}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 3 + 13}{2}, u = \frac{- 3 - 13}{2}

Combinar los rangos

(u = \frac{- 3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2}) and (u \geq 0)

Mezclar intervalos sobrepuestos

u = \frac{- 3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2} and u \geq 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

u = \frac{- 3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2}

u \geq 0

u = \frac{- 3 + 13}{2}

u = \frac{- 3 + 13}{2}

Combinar soluciones:

u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2}

u = \frac{3 - 13}{2} or u = \frac{- 3 + 13}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 - 13}{2} or cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2}

cos (x) = \frac{3 - 13}{2} or cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2}

cos (x) = \frac{3 - 13}{2} : x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3 - 13}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2} : x = arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{- 3 + 13}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 13}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 13}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.87839 \dots + 2 πn, x = - 1.87839 \dots + 2 πn, x = 1.26319 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.26319 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos^5(x)=sin(75)

cos^{5} (x) = sin (7 5^{\circ})

csc^2(x)=sec(x)

csc^{2} (x) = sec (x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0