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人気のある三角関数 >

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

解

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

解

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

+1

度

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

置換で解く

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

仮定:

cos (x) = u

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

因数

6 u^{3} + u^{2} - 1 : (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

6 u^{3} + u^{2} - 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 6

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1, 2, 3, 6

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 3 , 6}

\frac{1}{2}

は式の累乗根なので

2 u - 1

をくくり出す

= (2 u - 1) \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

割る

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

分子

6 u^{3} + u^{2} - 1

と除数

2 u - 1

の主係数で割る:

\frac{6 u ^{3}}{2 u} = 3 u^{2}

商 = 3 u^{2}

2 u - 1

に

3 u^{2}

を乗じる:

6 u^{3} - 3 u^{2}

6 u^{3} - 3 u^{2}

を

6 u^{3} + u^{2} - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 4 u^{2} - 1

このため

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

割る

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

分子

4 u^{2} - 1

と除数

2 u - 1

の主係数で割る:

\frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

商 = 2 u

2 u - 1

に

2 u

を乗じる:

4 u^{2} - 2 u

4 u^{2} - 2 u

を

4 u^{2} - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 2 u - 1

このため

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

割る

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} : \frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

分子

2 u - 1

と除数

2 u - 1

の主係数で割る:

\frac{2 u}{2 u} = 1

商 = 1

2 u - 1

に

1

を乗じる:

2 u - 1

2 u - 1

を

2 u - 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

2 u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

解く

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

解く

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

解くとthe二次式

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

簡素化

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

虚数の規則を適用する:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

数を足す/引く:

- 4 + 12 = 8

= 8

以下の素因数分解:

8 : 2^{3}

8

828 = 4 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

因数

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

書き換え

= - 2 \cdot 1 + 22 i

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

標準的な複素数形式で

\frac{- 1 + 2 i}{3}

を書き換える:

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

因数

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

書き換え

= - 2 \cdot 1 - 22 i

共通項をくくり出す

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

標準的な複素数形式で

- \frac{1 + 2 i}{3}

を書き換える:

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

括弧を削除する:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

二次equationの解:

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

解答は

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

以下の一般解

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

解なし

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

解なし

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

解なし

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

解なし

すべての解を組み合わせる

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

グラフ

人気の例

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)

cos^{4} (t) = 1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

8 cos^{2} (x) - 12 sin (x) - 12 = 0