English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

Solution

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Solution

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Résoudre par substitution

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

Soit :

cos (x) = u

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

6 u^{3} + u^{2} - 1 = 0

Factoriser

6 u^{3} + u^{2} - 1 : (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

6 u^{3} + u^{2} - 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 6

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1, 2, 3, 6

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1 , 2 , 3 , 6}

\frac{1}{2}

est une racine de l'expression, donc factorise

2 u - 1

= (2 u - 1) \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + 2 u + 1

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Diviser

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

6 u^{3} + u^{2} - 1

et le diviseur

2 u - 1 : \frac{6 u ^{3}}{2 u} = 3 u^{2}

Quotient = 3 u^{2}

Multiplier

2 u - 1

par

3 u^{2} : 6 u^{3} - 3 u^{2}

Soustraire

6 u^{3} - 3 u^{2}

6 u^{3} + u^{2} - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 4 u^{2} - 1

Par conséquent

\frac{6 u ^{3} + u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Diviser

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

4 u^{2} - 1

et le diviseur

2 u - 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multiplier

2 u - 1

par

2 u : 4 u^{2} - 2 u

Soustraire

4 u^{2} - 2 u

4 u^{2} - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 2 u - 1

Par conséquent

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 3 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Diviser

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} : \frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

Diviser les coefficients directeurs

2 u - 1

et le diviseur

2 u - 1 : \frac{2 u}{2 u} = 1

Quotient = 1

Multiplier

2 u - 1

par

1 : 2 u - 1

Soustraire

2 u - 1

2 u - 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 3 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1)

(2 u - 1) (3 u^{2} + 2 u + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

2 u - 1 = 0 or 3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Résoudre

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Résoudre

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

3 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 3, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 3}

Simplifier

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 : 22 i

2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} - 12

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- a = i a

= i 12 - 2^{2}

- 2^{2} + 12 = 22

- 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= - 4 + 12

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 12 = 8

= 8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= 22 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{2 \cdot 3}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

\frac{- 2 + 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 + 2 2 i}{6}

Factoriser

- 2 + 22 i : 2 (- 1 + 2 i)

- 2 + 22 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 22 i

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 2 i)

= \frac{2 ( - 1 + 2 i )}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{- 1 + 2 i}{3}

Récrire

\frac{- 1 + 2 i}{3}

sous la forme complexe standard :

- \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

\frac{- 1 + 2 i}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 2 i}{3} = - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} i

u = \frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

\frac{- 2 - 2 2 i}{2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2 - 2 2 i}{6}

Factoriser

- 2 - 22 i : - 2 (1 + 2 i)

- 2 - 22 i

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 - 22 i

Factoriser le terme commun

2

= - 2 (1 + 2 i)

= - \frac{2 ( 1 + 2 i )}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{1 + 2 i}{3}

Récrire

- \frac{1 + 2 i}{3}

sous la forme complexe standard :

- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

- \frac{1 + 2 i}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 2 i}{3} = - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

= - (\frac{1}{3}) - (\frac{2 i}{3})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= - \frac{1}{3} - \frac{2 i}{3}

= - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} i

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Les solutions sont

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}, cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{3} + i \frac{2}{3}

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{1}{3} - i \frac{2}{3}

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)

cos^4(t)=1

cos^{4} (t) = 1

8cos^2(x)-12sin(x)-12=0

8 cos^{2} (x) - 12 sin (x) - 12 = 0