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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-sin(x)cos(x)-6cos^2(x)=0

Lösung

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

Lösung

x = - 1.10714 \dots + πn, x = 1.24904 \dots + πn

Grad

x = - 63.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 71.56505 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x) : (sin (x) + 2 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x)

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

sin^{2} (x) - sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x)

Definition

Faktoren von

6 : 1, 2, 3, 6

6

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

6 : 2, 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

6

selbst

1, 6

Die Faktoren von

6

1, 2, 3, 6

Negative Faktoren von

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 6,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 3

Gruppiere

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)) + (- 3 sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)) + (- 3 sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x))

Klammere

sin (x)

aus

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

aus

: sin (x) (sin (x) + 2 cos (x))

sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) + 2 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (sin (x) + 2 cos (x))

Klammere

- 3 cos (x)

aus

- 3 sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x)

aus

: - 3 cos (x) (sin (x) + 2 cos (x))

- 3 sin (x) cos (x) - 6 cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= - 3 sin (x) cos (x) - 6 cos (x) cos (x)

Schreibe

- 6

um:

2 \cdot 3

= - 3 sin (x) cos (x) + 2 \cdot 3 cos (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 3 cos (x)

= - 3 cos (x) (sin (x) + 2 cos (x))

= sin (x) (sin (x) + 2 cos (x)) - 3 cos (x) (sin (x) + 2 cos (x))

Klammere gleiche Terme aus

sin (x) + 2 cos (x)

= (sin (x) + 2 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x))

(sin (x) + 2 cos (x)) (sin (x) - 3 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) + 2 cos (x) = 0 or sin (x) - 3 cos (x) = 0

sin (x) + 2 cos (x) = 0 : x = arctan (- 2) + πn

sin (x) + 2 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + 2 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 2 = 0

tan (x) + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

tan (x) + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

tan (x) + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

tan (x) = - 2

tan (x) = - 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- 2) + πn

x = arctan (- 2) + πn

sin (x) - 3 cos (x) = 0 : x = arctan (3) + πn

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - 3 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 3 = 0

tan (x) - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

tan (x) - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

tan (x) = 3

tan (x) = 3

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (3) + πn

x = arctan (3) + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (- 2) + πn, x = arctan (3) + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 1.10714 \dots + πn, x = 1.24904 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

5cos^2(x)+3sin(x)-3=0

5 cos^{2} (x) + 3 sin (x) - 3 = 0

(cos^2(x)+1)/(1+cot^2(x))=1

\frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{1 + cot ^{2} ( x )} = 1

3sin^2(c)-7sin(x)+2=0

3 sin^{2} (c) - 7 sin (x) + 2 = 0

1+cos^2(x)=sin^4(x)

1 + cos^{2} (x) = sin^{4} (x)

cos(t)=cos(2t)

cos (t) = cos (2 t)