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arccos(x)-arcsin(x)=arcsin(1-x)

Solución

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

Solución

x = 0, x = \frac{1}{2}

Pasos de solución

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

a = b \Rightarrow sin (a) = sin (b)

sin (arccos (x) - arcsin (x)) = sin (arcsin (1 - x))

Usar la siguiente identidad:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

sin (arccos (x)) cos (arcsin (x)) - cos (arccos (x)) sin (arcsin (x)) = sin (arcsin (1 - x))

Usar la siguiente identidad:

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

Usar la siguiente identidad:

cos (arcsin (x)) = 1 - x^{2}

Usar la siguiente identidad:

cos (arccos (x)) = x

Usar la siguiente identidad:

sin (arcsin (x)) = x

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Resolver

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x : x = 0, x = \frac{1}{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Desarrollar

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx : 1 - 2 x^{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx

1 - x^{2} 1 - x^{2} = 1 - x^{2}

1 - x^{2} 1 - x^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

1 - x^{2} 1 - x^{2} = 1 - x^{2}

= 1 - x^{2}

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= 1 - x^{2} - x^{2}

Simplificar

= 1 - 2 x^{2}

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Resolver

1 - 2 x^{2} = 1 - x : x = 0, x = \frac{1}{2}

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Mover

x

al lado izquierdo

1 - 2 x^{2} = 1 - x

Sumar

x

a ambos lados

1 - 2 x^{2} + x = 1 - x + x

Simplificar

1 - 2 x^{2} + x = 1

1 - 2 x^{2} + x = 1

Mover

1

al lado izquierdo

1 - 2 x^{2} + x = 1

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 x^{2} + x - 1 = 1 - 1

Simplificar

- 2 x^{2} + x = 0

- 2 x^{2} + x = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 x^{2} + x = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 1, c = 0

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Sumar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}, x_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

x = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

x = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = 0, x = \frac{1}{2}

x = 0, x = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones:

x = 0

Verdadero

, x = \frac{1}{2}

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

1 - x^{2} 1 - x^{2} - xx = 1 - x

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

x = 0 :

Verdadero

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0 = 1 - 0

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0 = 1 - 0

1 - 0^{2} 1 - 0^{2} - 0 \cdot 0

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 1 - 0 1 - 0 - 0 \cdot 0

1 - 0 1 - 0 = 1

1 - 0 1 - 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

1 - 0 1 - 0 = 1 - 0

= 1 - 0

Restar:

1 - 0 = 1

= 1

0 \cdot 0 = 0

0 \cdot 0

Multiplicar los numeros:

0 \cdot 0 = 0

= 0

= 1 - 0

1 - 0 = 1 - 0

Verdadero

Sustituir

x = \frac{1}{2} :

Verdadero

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

1 - (\frac{1}{2})^{2} 1 - (\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a a = a

- (\frac{1}{2})^{2} + 1 - (\frac{1}{2})^{2} + 1 = 1 - (\frac{1}{2})^{2}

= 1 - (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= 1 - \frac{1}{4}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 1}{4}

1 \cdot 4 - 1 = 3

1 \cdot 4 - 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 1

Restar:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1}{4}

= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{4}

Restar:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

1 - (\frac{1}{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - \frac{1}{2}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Restar:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Verdadero

Las soluciones son

x = 0, x = \frac{1}{2}

x = 0, x = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

0 :

Verdadero

0

Sustituir

n = 1

0

Multiplicar

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

por

x = 0

arccos (0) - arcsin (0) = arcsin (1 - 0)

Simplificar

1.57079 \dots = 1.57079 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{1}{2} :

Verdadero

\frac{1}{2}

Sustituir

n = 1

\frac{1}{2}

Multiplicar

arccos (x) - arcsin (x) = arcsin (1 - x)

por

x = \frac{1}{2}

arccos (\frac{1}{2}) - arcsin (\frac{1}{2}) = arcsin (1 - \frac{1}{2})

Simplificar

0.52359 \dots = 0.52359 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = 0, x = \frac{1}{2}

Ejemplos populares

sin^2(x)=|sin(x)|

sin^{2} (x) = ∣ sin (x) ∣

1-cos^2(x)-sin^{22}(x)=0

1 - cos^{2} (x) - sin^{22} (x) = 0

cos(x/4)sin(x/4)=sqrt(3)sin(x/4)cos(x/4)

cos (\frac{x}{4}) sin (\frac{x}{4}) = 3 sin (\frac{x}{4}) cos (\frac{x}{4})

5cos(x)=1+2sin^2(x)

5 cos (x) = 1 + 2 sin^{2} (x)

tan(2x+1)=-cot(x+3)

tan (2 x + 1) = - cot (x + 3)