English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי >

3tan^2(x)= 8/(sin^2(x))

פתרון

3 tan^{2} (x) = \frac{8}{sin ^{2} ( x )}

פתרון

x = 1.07640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.07640 \dots + 2 πn, x = 2.06518 \dots + 2 πn, x = - 2.06518 \dots + 2 πn

מעלות

x = 61.67333 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 298.32666 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 118.32666 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 118.32666 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

צעדי פתרון

3 tan^{2} (x) = \frac{8}{sin ^{2} ( x )}

משני האגפים

\frac{8}{sin ^{2} ( x )}

החסר

3 tan^{2} (x) - \frac{8}{sin ^{2} ( x )} = 0

3 tan^{2} (x) - \frac{8}{sin ^{2} ( x )}

פשט את:

\frac{3 tan ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - 8}{sin ^{2} ( x )}

3 tan^{2} (x) - \frac{8}{sin ^{2} ( x )}

3 tan^{2} (x) = \frac{3 tan ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{3 tan ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{8}{sin ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{3 tan ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - 8}{sin ^{2} ( x )}

\frac{3 tan ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x ) - 8}{sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 tan^{2} (x) sin^{2} (x) - 8 = 0

Rewrite using trig identities

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (x)

tan (x) = - tan (π - x)

tan (x)

tan (θ) = - tan (- θ) :

השתמש בחוק הבא

tan (x) = - tan (- x)

= - tan (- x)

tan (π + θ) = tan (θ)

tan :

השתמש במזוריות של

- tan (- x) = - tan (π - x)

= - tan (π - x)

= - 8 + 3 sin^{2} (x) (- tan (π - x))^{2}

זוגי n

אם

, (- a)^{n} = a^{n}

:הפעל את חוק החזקות

(- tan (- x + π))^{2} = tan^{2} (π - x)

= - 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (π - x)

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π) = 0

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

פרק לגורמים את:

(3 sin (x) tan (- x + π) + 22) (3 sin (x) tan (- x + π) - 22)

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

- (8)^{2} + (3 sin (x) tan (- x + π))^{2}

בתור

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

כתוב מחדש את

- 8 + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

a = (a)^{2}

:הפעל את חוק השורשים

8 = (8)^{2}

= - (8)^{2} + 3 sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

a = (a)^{2}

:הפעל את חוק השורשים

3 = (3)^{2}

= - (8)^{2} + (3)^{2} sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π)

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:הפעל את חוק החזקות

(3)^{2} sin^{2} (x) tan^{2} (- x + π) = (3 sin (x) tan (- x + π))^{2}

= - (8)^{2} + (3 sin (x) tan (- x + π))^{2}

= - (8)^{2} + (3 sin (x) tan (- x + π))^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

- (8)^{2} + (3 sin (x) tan (- x + π))^{2} = (3 sin (x) tan (- x + π) + 8) (3 sin (x) tan (- x + π) - 8)

= (3 sin (x) tan (- x + π) + 8) (3 sin (x) tan (- x + π) - 8)

פשט

= (3 sin (x) tan (- x + π) + 22) (3 sin (x) tan (- x + π) - 22)

(3 sin (x) tan (- x + π) + 22) (3 sin (x) tan (- x + π) - 22) = 0

פתור כל חלק בנפרד

3 sin (x) tan (- x + π) + 22 = 0 or 3 sin (x) tan (- x + π) - 22 = 0

3 sin (x) tan (- x + π) + 22 = 0 : x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn

3 sin (x) tan (- x + π) + 22 = 0

Rewrite using trig identities

3 sin (x) tan (- x + π) + 22 = 0

Rewrite using trig identities

tan (- x + π)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{sin ( - x + π )}{cos ( - x + π )}

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π - x )}

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

\frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

פשט את:

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

sin (π) cos (x) - cos (π) sin (x) = sin (x)

sin (π) cos (x) - cos (π) sin (x)

sin (π) cos (x) = 0

sin (π) cos (x)

sin (π)

פשט את:

0

sin (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (π) = 0

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

cos (π) sin (x) = - sin (x)

cos (π) sin (x)

cos (π)

פשט את:

- 1

cos (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= - 1 \cdot sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= - sin (x)

= 0 - (- sin (x))

פשט

= sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

cos (π) cos (x) + sin (π) sin (x) = - cos (x)

cos (π) cos (x) + sin (π) sin (x)

cos (π) cos (x) = - cos (x)

cos (π) cos (x)

cos (π)

פשט את:

- 1

cos (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= - 1 \cdot cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x) :

הכפל

= - cos (x)

= - cos (x) + sin (π) sin (x)

sin (π) sin (x) = 0

sin (π) sin (x)

sin (π)

פשט את:

0

sin (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (π) = 0

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

= - cos (x) + 0

- cos (x) + 0 = - cos (x)

= - cos (x)

= \frac{sin ( x )}{- cos ( x )}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) + 22 = 0

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) + 22

פשט את:

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) + 22

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= - 3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 22

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{sin ( x ) 3 sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) 3 sin (x) = 3 sin^{2} (x)

sin (x) 3 sin (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 3 sin^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= 3 sin^{2} (x)

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22 = 0

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22 = 0

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22

פשט את:

\frac{- 3 sin ^{2} ( x ) + 2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + 22

22 = \frac{2 \cdot 2 cos ( x )}{cos ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} + \frac{2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 3 sin ^{2} ( x ) + 2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{- 3 sin ^{2} ( x ) + 2 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 3 sin^{2} (x) + 22 cos (x) = 0

Rewrite using trig identities

- sin^{2} (x) 3 + 2 cos (x) 2

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (x)) 3 + 2 cos (x) 2

- (1 - cos^{2} (x)) 3 + 2 cos (x) 2 = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- (1 - cos^{2} (x)) 3 + 2 cos (x) 2 = 0

cos (x) = u :

נניח ש

- (1 - u^{2}) 3 + 2 u 2 = 0

- (1 - u^{2}) 3 + 2 u 2 = 0 : u = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}, u = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

- (1 - u^{2}) 3 + 2 u 2 = 0

- (1 - u^{2}) 3 + 2 u 2

הרחב את:

- 3 + 3 u^{2} + 22 u

- (1 - u^{2}) 3 + 2 u 2

= - 3 (1 - u^{2}) + 22 u

- 3 (1 - u^{2})

הרחב את:

- 3 + 3 u^{2}

- 3 (1 - u^{2})

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - 3, b = 1, c = u^{2}

= - 3 \cdot 1 - (- 3) u^{2}

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a

= - 1 \cdot 3 + 3 u^{2}

1 \cdot 3 = 3 :

הכפל

= - 3 + 3 u^{2}

= - 3 + 3 u^{2} + 2 u 2

= - 3 + 3 u^{2} + 22 u

- 3 + 3 u^{2} + 22 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

3 u^{2} + 22 u - 3 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

3 u^{2} + 22 u - 3 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = 3, b = 22, c = - 3

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 3 ( - 3 )}{2 3}

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm ( 2 2 ) ^{2} - 4 3 ( - 3 )}{2 3}

(22)^{2} - 43 (- 3) = 25

(22)^{2} - 43 (- 3)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= (22)^{2} + 433

(22)^{2} = 2^{3}

(22)^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:הפעל את חוק החזקות

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

a = a^{\frac{1}{2}}

:הפעל את חוק השורשים

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

(a^{b})^{c} = a^{b c}

:הפעל את חוק החזקות

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

2 + 1 = 3 :

חבר את המספרים

= 2^{3}

433 = 12

433

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 4 \cdot 3

4 \cdot 3 = 12 :

הכפל את המספרים

= 12

= 2^{3} + 12

2^{3} = 8

= 8 + 12

8 + 12 = 20 :

חבר את המספרים

= 20

20

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2^{2} \cdot 5

20

20 = 10 \cdot 2, 2

מתחלק ב

20

= 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

מתחלק ב

10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

:הפעל את חוק השורשים

= 5 2^{2}

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 2 \pm 2 5}{2 3}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 2 2 + 2 5}{2 3}, u_{2} = \frac{- 2 2 - 2 5}{2 3}

u = \frac{- 2 2 + 2 5}{2 3} : \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}

\frac{- 2 2 + 2 5}{2 3}

2

הוצא את הגורם המשותף

= \frac{2 ( - 2 + 5 )}{2 3}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{- 2 + 5}{3}

\frac{- 2 + 5}{3}

הפוך לרציונלי:

\frac{3 ( 5 - 2 )}{3}

\frac{- 2 + 5}{3}

\frac{3}{3}

הכפל בצמוד

= \frac{( - 2 + 5 ) 3}{3 3}

33 = 3

33

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 3

= \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}

= \frac{3 ( 5 - 2 )}{3}

= \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}

u = \frac{- 2 2 - 2 5}{2 3} : - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

\frac{- 2 2 - 2 5}{2 3}

2

הוצא את הגורם המשותף

= - \frac{2 ( 2 + 5 )}{2 3}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= - \frac{2 + 5}{3}

- \frac{2 + 5}{3}

הפוך לרציונלי:

- \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

- \frac{2 + 5}{3}

\frac{3}{3}

הכפל בצמוד

= - \frac{( 2 + 5 ) 3}{3 3}

33 = 3

33

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 3

= - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

= - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}, u = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}, cos (x) = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}, cos (x) = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3} : x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( - 2 + 5 )}{3} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3} :

אין פתרון

cos (x) = - \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

אין פתרון

אחד את הפתרונות

x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn

3 sin (x) tan (- x + π) - 22 = 0 : x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

3 sin (x) tan (- x + π) - 22 = 0

Rewrite using trig identities

3 sin (x) tan (- x + π) - 22 = 0

Rewrite using trig identities

tan (- x + π)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{sin ( - x + π )}{cos ( - x + π )}

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π - x )}

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

:הפעל זהות של הפרש זוויות

= \frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

\frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

פשט את:

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( π ) cos ( x ) - cos ( π ) sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

sin (π) cos (x) - cos (π) sin (x) = sin (x)

sin (π) cos (x) - cos (π) sin (x)

sin (π) cos (x) = 0

sin (π) cos (x)

sin (π)

פשט את:

0

sin (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (π) = 0

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

cos (π) sin (x) = - sin (x)

cos (π) sin (x)

cos (π)

פשט את:

- 1

cos (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= - 1 \cdot sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x) :

הכפל

= - sin (x)

= 0 - (- sin (x))

פשט

= sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( π ) cos ( x ) + sin ( π ) sin ( x )}

cos (π) cos (x) + sin (π) sin (x) = - cos (x)

cos (π) cos (x) + sin (π) sin (x)

cos (π) cos (x) = - cos (x)

cos (π) cos (x)

cos (π)

פשט את:

- 1

cos (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= - 1 \cdot cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x) :

הכפל

= - cos (x)

= - cos (x) + sin (π) sin (x)

sin (π) sin (x) = 0

sin (π) sin (x)

sin (π)

פשט את:

0

sin (π)

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

sin (π) = 0

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (x)

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

= - cos (x) + 0

- cos (x) + 0 = - cos (x)

= - cos (x)

= \frac{sin ( x )}{- cos ( x )}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) - 22 = 0

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) - 22

פשט את:

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22

3 sin (x) (- \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) - 22

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= - 3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 22

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

3 sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{sin ( x ) 3 sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) 3 sin (x) = 3 sin^{2} (x)

sin (x) 3 sin (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 3 sin^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= 3 sin^{2} (x)

= \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22 = 0

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22 = 0

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22

פשט את:

\frac{- 3 sin ^{2} ( x ) - 2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

- \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 22

22 = \frac{2 \cdot 2 cos ( x )}{cos ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{3 sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - \frac{2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 3 sin ^{2} ( x ) - 2 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{- 3 sin ^{2} ( x ) - 2 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 3 sin^{2} (x) - 22 cos (x) = 0

Rewrite using trig identities

- sin^{2} (x) 3 - 2 cos (x) 2

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (x)) 3 - 2 cos (x) 2

- (1 - cos^{2} (x)) 3 - 2 cos (x) 2 = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- (1 - cos^{2} (x)) 3 - 2 cos (x) 2 = 0

cos (x) = u :

נניח ש

- (1 - u^{2}) 3 - 2 u 2 = 0

- (1 - u^{2}) 3 - 2 u 2 = 0 : u = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}, u = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

- (1 - u^{2}) 3 - 2 u 2 = 0

- (1 - u^{2}) 3 - 2 u 2

הרחב את:

- 3 + 3 u^{2} - 22 u

- (1 - u^{2}) 3 - 2 u 2

= - 3 (1 - u^{2}) - 22 u

- 3 (1 - u^{2})

הרחב את:

- 3 + 3 u^{2}

- 3 (1 - u^{2})

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - 3, b = 1, c = u^{2}

= - 3 \cdot 1 - (- 3) u^{2}

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a

= - 1 \cdot 3 + 3 u^{2}

1 \cdot 3 = 3 :

הכפל

= - 3 + 3 u^{2}

= - 3 + 3 u^{2} - 2 u 2

= - 3 + 3 u^{2} - 22 u

- 3 + 3 u^{2} - 22 u = 0

a x^{2} + b x + c = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

3 u^{2} - 22 u - 3 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

3 u^{2} - 22 u - 3 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = 3, b = - 22, c = - 3

עבור

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm ( - 2 2 ) ^{2} - 4 3 ( - 3 )}{2 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm ( - 2 2 ) ^{2} - 4 3 ( - 3 )}{2 3}

(- 22)^{2} - 43 (- 3) = 25

(- 22)^{2} - 43 (- 3)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= (- 22)^{2} + 433

(- 22)^{2} = 2^{3}

(- 22)^{2}

זוגי n

אם

, (- a)^{n} = a^{n}

:הפעל את חוק החזקות

(- 22)^{2} = (22)^{2}

= (22)^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:הפעל את חוק החזקות

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

a = a^{\frac{1}{2}}

:הפעל את חוק השורשים

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

(a^{b})^{c} = a^{b c}

:הפעל את חוק החזקות

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

2 + 1 = 3 :

חבר את המספרים

= 2^{3}

433 = 12

433

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 4 \cdot 3

4 \cdot 3 = 12 :

הכפל את המספרים

= 12

= 2^{3} + 12

2^{3} = 8

= 8 + 12

8 + 12 = 20 :

חבר את המספרים

= 20

20

פירוק לגורמים ראשוניים של:

2^{2} \cdot 5

20

20 = 10 \cdot 2, 2

מתחלק ב

20

= 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

מתחלק ב

10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

:הפעל את חוק השורשים

= 5 2^{2}

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm 2 5}{2 3}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 2 ) + 2 5}{2 3}, u_{2} = \frac{- ( - 2 2 ) - 2 5}{2 3}

u = \frac{- ( - 2 2 ) + 2 5}{2 3} : \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

\frac{- ( - 2 2 ) + 2 5}{2 3}

- (- a) = a

הפעל את החוק

= \frac{2 2 + 2 5}{2 3}

2

הוצא את הגורם המשותף

= \frac{2 ( 2 + 5 )}{2 3}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{2 + 5}{3}

\frac{2 + 5}{3}

הפוך לרציונלי:

\frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

\frac{2 + 5}{3}

\frac{3}{3}

הכפל בצמוד

= \frac{( 2 + 5 ) 3}{3 3}

33 = 3

33

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 3

= \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

= \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

u = \frac{- ( - 2 2 ) - 2 5}{2 3} : \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

\frac{- ( - 2 2 ) - 2 5}{2 3}

- (- a) = a

הפעל את החוק

= \frac{2 2 - 2 5}{2 3}

2

הוצא את הגורם המשותף

= \frac{2 ( 2 - 5 )}{2 3}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{2 - 5}{3}

\frac{2 - 5}{3}

הפוך לרציונלי:

\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

\frac{2 - 5}{3}

\frac{3}{3}

הכפל בצמוד

= \frac{( 2 - 5 ) 3}{3 3}

33 = 3

33

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

33 = 3

= 3

= \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

= \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}, u = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}, cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}, cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3} :

אין פתרון

cos (x) = \frac{3 ( 2 + 5 )}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

אין פתרון

cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3} : x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

Apply trig inverse properties

cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3}

cos (x) = \frac{3 ( 2 - 5 )}{3} :

פתרונות כלליים עבור

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

אחד את הפתרונות

x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

אחד את הפתרונות

x = arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( - 2 + 5 )}{3}) + 2 πn, x = arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 ( 2 - 5 )}{3}) + 2 πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = 1.07640 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.07640 \dots + 2 πn, x = 2.06518 \dots + 2 πn, x = - 2.06518 \dots + 2 πn

דוגמאות פופולריות

sin^2(x)+sin^{22}(x)+sin^{23}(x)=1

sin^{2} (x) + sin^{22} (x) + sin^{23} (x) = 1

5sin(1.75x)=1.4

5 sin (1.75 x) = 1.4

cos(a-5)=0.675

cos (a - 5) = 0.675

cos(7a)=sin(a-6)

cos (7 a) = sin (a - 6)

sin^5(x)+2cos^2(x)=1

sin^{5} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1