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2cos^2(x)-8cos(x)=2sin^2(x)-5

Solución

2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 2 sin^{2} (x) - 5

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 2 sin^{2} (x) - 5

Restar

2 sin^{2} (x) - 5

de ambos lados

2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 2 sin^{2} (x) + 5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

5 + 2 cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) - 8 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 5 + 2 cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) - 8 cos (x)

Simplificar

5 + 2 cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) - 8 cos (x) : 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3

5 + 2 cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) - 8 cos (x)

Expandir

- 2 (1 - cos^{2} (x)) : - 2 + 2 cos^{2} (x)

- 2 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (x)

= 5 + 2 cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x) - 8 cos (x)

Simplificar

5 + 2 cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) : 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3

5 + 2 cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (x) - 8 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 5 - 2

Sumar elementos similares:

2 cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 5 - 2

Sumar/restar lo siguiente:

5 - 2 = 3

= 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3

= 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3

= 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3

3 + 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 + 4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 + 4 u^{2} - 8 u = 0

3 + 4 u^{2} - 8 u = 0 : u = \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

3 + 4 u^{2} - 8 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 8 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 4}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 4

(- 8)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 8^{2} - 48

8^{2} = 64

= 64 - 48

Restar:

64 - 48 = 16

= 16

Descomponer el número en factores primos:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 4}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 4}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 4}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 8 ) + 4}{2 \cdot 4} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 4}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 + 4}{2 \cdot 4}

Sumar:

8 + 4 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{12}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 8 ) - 4}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 4}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{8 - 4}{2 \cdot 4}

Restar:

8 - 4 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

2cos^2(a)tan(a)=tan(a)

2 cos^{2} (a) tan (a) = tan (a)

sin^2(x)+5sin(x)+5=0

sin^{2} (x) + 5 sin (x) + 5 = 0

cos(x)=-0.814

cos (x) = - 0.814

3cos^2(x)-8cos(x)+4=sin^2(x)

3 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 4 = sin^{2} (x)

cos(x-45)=(-1)/2

cos (x - 4 5^{\circ}) = \frac{- 1}{2}