z-1/z =1+4i

Lösung

z - \frac{1}{z} = 1 + 4 i

z = - 0.07024 \dots + 0.24637 \dots i, z = 1.07024 \dots + 3.75362 \dots i

Schritte zur Lösung

z - \frac{1}{z} = 1 + 4 i

Ersetze

z = x + y i

x + y i - \frac{1}{x + y i} = 1 + 4 i

Multipliziere beide Seiten mit

x + y i

x (x + y i) + y i (x + y i) - \frac{1}{x + y i} (x + y i) = 1 \cdot (x + y i) + 4 i (x + y i)

Schreibe um

(x^{2} - y^{2} - 1) + 2 i x y = (x - 4 y) + i (y + 4 x)

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[x^{2} - y^{2} - 1 = x - 4 y 2 x y = y + 4 x]

[x^{2} - y^{2} - 1 = x - 4 y 2 x y = y + 4 x] : (x = - 0.07024 \dots, x = 1.07024 \dots, y = 0.24637 \dots y = 3.75362 \dots)

Setze in

z = x + y i

ein

z = - 0.07024 \dots + 0.24637 \dots i, z = 1.07024 \dots + 3.75362 \dots i

x = (2 + 3 y) + i (1 - 2 x)

z^{2} + i z = 2 i^{2}

a + ib = (4 + 3 i) (5 - 2 i)

\frac{- 1 + 2 i}{8 i} = a + bi

z^{2} - 8 z + 18 = 8 i