integral of e^{-x}*e^{-iwx}

解

\int e^{- x} \cdot e^{- i w x} d x

\frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} cos (w x) + w e^{- x} sin (w x)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- x} sin (w x) + w e^{- x} cos (w x)) + C

解答ステップ

\int e^{- x} e^{- i w x} d x

簡素化

e^{- w i x} e^{- x} : e^{- x} cos (w x) - i e^{- x} sin (w x)

= \int e^{- x} cos (w x) - i e^{- x} sin (w x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- x} cos (w x) d x - \int i e^{- x} sin (w x) d x

\int e^{- x} cos (w x) d x = \frac{w e ^{- x} sin ( w x )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( w x )}{w ^{2} + 1}

\int i e^{- x} sin (w x) d x = i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} sin (w x) - w e^{- x} cos (w x))

= \frac{w e ^{- x} sin ( w x )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( w x )}{w ^{2} + 1} - i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} sin (w x) - w e^{- x} cos (w x))

簡素化

\frac{w e ^{- x} sin ( w x )}{w ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( w x )}{w ^{2} + 1} - i \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} sin (w x) - w e^{- x} cos (w x)) : \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} cos (w x) + w e^{- x} sin (w x)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- x} sin (w x) + w e^{- x} cos (w x))

= \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} cos (w x) + w e^{- x} sin (w x)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- x} sin (w x) + w e^{- x} cos (w x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{1 + w ^{2}} (- e^{- x} cos (w x) + w e^{- x} sin (w x)) + i \frac{1}{1 + w ^{2}} (e^{- x} sin (w x) + w e^{- x} cos (w x)) + C