integral of (tan(x))/(1-tan^2(x))

解

\int \frac{tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} d x

x cos (x) sin (x) sec (2 x) - \frac{1}{2} x tan (2 x) - \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} d x

部分積分を適用する

= x cos (x) sin (x) sec (2 x) - \int x sec^{2} (2 x) d x

\int x sec^{2} (2 x) d x = \frac{1}{2} x tan (2 x) + \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣

= x cos (x) sin (x) sec (2 x) - (\frac{1}{2} x tan (2 x) + \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣)

簡素化

= x cos (x) sin (x) sec (2 x) - \frac{1}{2} x tan (2 x) - \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣

定数を解答に追加する

= x cos (x) sin (x) sec (2 x) - \frac{1}{2} x tan (2 x) - \frac{1}{4} ln ∣ cos (2 x) ∣ + C