integral of 1/(sqrt(2^x)-1)

Lösung

\int \frac{1}{2 ^{x} - 1} d x

- x + \frac{2}{ln ( 2 )} ln 2^{\frac{x}{2}} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 ^{x} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{ln ( 2 ) u ( u - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int \frac{2}{v ( v - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{v ( v - 1 )} : - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 (- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 (- ln ∣ v ∣ + ln ∣ v - 1 ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 (- ln 2^{x} + ln 2^{x} - 1)

Vereinfache

\frac{1}{ln ( 2 )} \cdot 2 (- ln 2^{x} + ln 2^{x} - 1) : - x + \frac{2}{ln ( 2 )} ln 2^{\frac{x}{2}} - 1

= - x + \frac{2}{ln ( 2 )} ln 2^{\frac{x}{2}} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - x + \frac{2}{ln ( 2 )} ln 2^{\frac{x}{2}} - 1 + C

\int 3 x^{7} d x

\int \frac{x ^{3}}{x ^{3} - 3 x + 2} d x

\int - 3 e^{- 4 x} cos (e^{- 4 x}) d x

\int \frac{4 x ^{3} + 5 x}{2 x} d x

\int (2 - 5 x)^{5} d x