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人気のある微分積分 >

integral of 1/(1-e^{-3x)}

解

\int \frac{1}{1 - e ^{- 3 x}} d x

解

\frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{1 - e ^{- 3 x}} d x

因数

1 - e^{- 3 x} : - (- 1 + e^{- 3 x})

= \int \frac{1}{- ( - 1 + e ^{- 3 x} )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- 1 + e ^{- 3 x}} d x

u置換積分法を適用する

= - \int - \frac{1}{3 u ( u + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u)

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ( u + 1 )} : \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}

= - (- \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} d u)

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \frac{1}{3} (\int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u + 1} d u))

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

= - (- \frac{1}{3} (ln ∣ u ∣ - ln ∣ u + 1 ∣))

代用を戻す

u = - 1 + e^{- 3 x}

= - (- \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} - ln - 1 + e^{- 3 x} + 1))

簡素化

- (- \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} - ln - 1 + e^{- 3 x} + 1)) : \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x)

= \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} (ln - 1 + e^{- 3 x} + 3 x) + C

グラフ

人気の例

integral of (sqrt(1+t))/(1+t)

\int \frac{1 + t}{1 + t} d t

integral of-5(x^4)/(1-x^5)

\int - 5 \frac{x ^{4}}{1 - x ^{5}} d x

integral of 1/(x^2-x+20)

\int \frac{1}{x ^{2} - x + 20} d x

integral of cos(kt)

\int cos (k t) d t

integral of (9x^8+4)/(x^9+4x)

\int \frac{9 x ^{8} + 4}{x ^{9} + 4 x} d x