integral de y/((y^2+x^2)^{3/2)}

Solución

\int \frac{y}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{y ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Pasos de solución

\int \frac{y}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y \cdot \int \frac{1}{( y ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

= y \cdot \int \frac{1}{y ^{2} sec ( u )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= y \frac{1}{y ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Aplicar la regla de integración:

\int cos (u) d u = sin (u)

= y \frac{1}{y ^{2}} sin (u)

Sustituir en la ecuación

u = arctan (\frac{1}{y} x)

= y \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x))

Simplificar

y \frac{1}{y ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{y} x)) : \frac{x}{y ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{y ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Agregar una constante a la solución

= \frac{x}{y ( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 20} d x

\int \frac{sec ( x ) tan ( x )}{2 + sec ( x )} d x

\int cos (ln (x)) \frac{1}{x} d x

\int \frac{25 x ^{2} - 36}{x ^{3}} d x

\int \frac{csc ( θ ) cot ( θ )}{1 - csc ( θ )} d θ