integral of (sqrt(x^2-5))/(x^2)

Lösung

\int \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2}} d x

ln \frac{1}{5} (x^{2} - 5) + \frac{1}{5} x - \frac{5 \frac{1}{5} ( x ^{2} - 5 )}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

Vereinfache

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{5} x)

ein

= ln tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) - sin (arcsec (\frac{1}{5} x))

Vereinfache

ln tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) - sin (arcsec (\frac{1}{5} x)) : ln \frac{1}{5} (x^{2} - 5) + \frac{1}{5} x - \frac{5 \frac{1}{5} ( x ^{2} - 5 )}{x}

= ln \frac{1}{5} (x^{2} - 5) + \frac{1}{5} x - \frac{5 \frac{1}{5} ( x ^{2} - 5 )}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{1}{5} (x^{2} - 5) + \frac{1}{5} x - \frac{5 \frac{1}{5} ( x ^{2} - 5 )}{x} + C

\int (sec (2 θ) - csc (\frac{θ}{2})) d θ

\int \frac{2 x ^{3} - x}{x ^{2} + 2} d x

\int 2 sin (2 θ) sin (4 θ) d θ

\int 6 e^{3 x + 7} d x

\int 1 + 4 x^{2} d x