integral of (1-x)^2sqrt(x+2)

解

\int (1 - x)^{2} x + 2 d x

6 (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} + C

解答ステップ

\int (1 - x)^{2} x + 2 d x

拡張

(1 - x)^{2} x + 2 : x + 2 - 2 x x + 2 + x^{2} x + 2

= \int x + 2 - 2 x x + 2 + x^{2} x + 2 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x + 2 d x - \int 2 x x + 2 d x + \int x^{2} x + 2 d x

\int x + 2 d x = \frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}

\int 2 x x + 2 d x = 2 (\frac{2}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}})

\int x^{2} x + 2 d x = \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}

簡素化

\frac{2}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} (x + 2)^{\frac{3}{2}} : 6 (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}}

= 6 (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}}

定数を解答に追加する

= 6 (x + 2)^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5} (x + 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} (x + 2)^{\frac{7}{2}} + C