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2arctanh(((x-2))/((x+1)))=ln(2)

Solución

2 arctanh (\frac{( x - 2 )}{( x + 1 )}) = ln (2)

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

2 arctanh (\frac{( x - 2 )}{( x + 1 )}) = ln (2)

Usando el método de sustitución

2 arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = ln (2)

Sea:

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = u

2 u = ln (2)

2 u = ln (2) : u = \frac{ln ( 2 )}{2}

2 u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

2

2 u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{ln ( 2 )}{2}

Simplificar

u = \frac{ln ( 2 )}{2}

u = \frac{ln ( 2 )}{2}

Sustituir en la ecuación

u = arctanh (\frac{x - 2}{x + 1})

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = \frac{ln ( 2 )}{2}

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = \frac{ln ( 2 )}{2}

Restar

ln (2)

de ambos lados

2 arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) - ln (2) = 0

Usando el método de sustitución

2 arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) - ln (2) = 0

Sea:

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = u

2 u - ln (2) = 0

2 u - ln (2) = 0 : u = \frac{ln ( 2 )}{2}

2 u - ln (2) = 0

Mover

ln (2)

al lado derecho

2 u - ln (2) = 0

Sumar

ln (2)

a ambos lados

2 u - ln (2) + ln (2) = 0 + ln (2)

Simplificar

2 u = ln (2)

2 u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

2

2 u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{ln ( 2 )}{2}

Simplificar

u = \frac{ln ( 2 )}{2}

u = \frac{ln ( 2 )}{2}

Sustituir en la ecuación

u = arctanh (\frac{x - 2}{x + 1})

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = \frac{ln ( 2 )}{2}

arctanh (\frac{x - 2}{x + 1}) = \frac{ln ( 2 )}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- ln (2) + 2 arctanh (\frac{- 2 + x}{1 + x})

Utilizar la identidad hiperbólica:

arctanh (x) = \frac{ln ( \frac{1 + x}{1 - x} )}{2}

= - ln (2) + 2 \cdot \frac{ln ( \frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}} )}{2}

2 \cdot \frac{ln ( \frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}} )}{2} = ln (\frac{2 x - 1}{3})

2 \cdot \frac{ln ( \frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}} )}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ln ( \frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}} ) \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= ln (\frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}})

\frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}} = \frac{2 x - 1}{3}

\frac{1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}}{1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}}

Simplificar

1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}

en una fracción:

\frac{3}{1 + x}

1 - \frac{- 2 + x}{1 + x}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 ( 1 + x )}{1 + x}

= \frac{1 \cdot ( 1 + x )}{1 + x} - \frac{- 2 + x}{1 + x}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + x ) - ( - 2 + x )}{1 + x}

1 \cdot (1 + x) = 1 + x

1 \cdot (1 + x)

Multiplicar:

1 \cdot (1 + x) = (1 + x)

= (1 + x)

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 + x

= \frac{1 + x - ( x - 2 )}{1 + x}

Expandir

1 + x - (- 2 + x) : 3

1 + x - (- 2 + x)

- (- 2 + x) : 2 - x

- (- 2 + x)

Poner los parentesis

= - (- 2) - (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= 2 - x

= 1 + x + 2 - x

Simplificar

1 + x + 2 - x : 3

1 + x + 2 - x

Agrupar términos semejantes

= x - x + 1 + 2

Sumar elementos similares:

x - x = 0

= 1 + 2

Sumar:

1 + 2 = 3

= 3

= 3

= \frac{3}{1 + x}

= \frac{1 + \frac{x - 2}{x + 1}}{\frac{3}{1 + x}}

Simplificar

1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}

en una fracción:

\frac{2 x - 1}{1 + x}

1 + \frac{- 2 + x}{1 + x}

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 ( 1 + x )}{1 + x}

= \frac{1 \cdot ( 1 + x )}{1 + x} + \frac{- 2 + x}{1 + x}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + x ) - 2 + x}{1 + x}

1 \cdot (1 + x) - 2 + x = 2 x - 1

1 \cdot (1 + x) - 2 + x

1 \cdot (1 + x) = 1 + x

1 \cdot (1 + x)

Multiplicar:

1 \cdot (1 + x) = (1 + x)

= (1 + x)

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 + x

= 1 + x - 2 + x

Agrupar términos semejantes

= x + x + 1 - 2

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 2

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 2 = - 1

= 2 x - 1

= \frac{2 x - 1}{1 + x}

= \frac{\frac{2 x - 1}{1 + x}}{\frac{3}{1 + x}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 x - 1 ) ( 1 + x )}{( 1 + x ) \cdot 3}

Eliminar los terminos comunes:

1 + x

= \frac{2 x - 1}{3}

= ln (\frac{2 x - 1}{3})

= - ln (2) + ln (\frac{2 x - 1}{3})

- ln (2) + ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = 0

Mover

ln (2)

al lado derecho

- ln (2) + ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = 0

Sumar

ln (2)

a ambos lados

- ln (2) + ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) + ln (2) = 0 + ln (2)

Simplificar

ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = ln (2)

ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = ln (2)

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = ln (2)

Soluciones generales para

ln (\frac{- 1 + 2 x}{3}) = ln (2)

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

tan(x)=-1.5

tan (x) = - 1.5

2cos^2(x)+cos(x)-3=0

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 3 = 0

5sin(θ)tan(θ)-10tan(θ)+3sin(θ)-6=0

5 sin (θ) tan (θ) - 10 tan (θ) + 3 sin (θ) - 6 = 0

3cos^2(θ)+6cos(θ)-4=0

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

arccos(x)=1

arccos (x) = 1