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Popular Trigonometria >

1/(csc^2(a))=1-sin^2(a)

Solução

\frac{1}{csc ^{2} ( a )} = 1 - sin^{2} (a)

Solução

a = \frac{π}{4} + 2 πn, a = \frac{3 π}{4} + 2 πn, a = \frac{5 π}{4} + 2 πn, a = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Graus

a = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

\frac{1}{csc ^{2} ( a )} = 1 - sin^{2} (a)

Subtrair

1 - sin^{2} (a)

de ambos os lados

\frac{1}{csc ^{2} ( a )} - 1 + sin^{2} (a) = 0

Simplificar

\frac{1}{csc ^{2} ( a )} - 1 + sin^{2} (a) : \frac{1 - csc ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

\frac{1}{csc ^{2} ( a )} - 1 + sin^{2} (a)

Converter para fração:

1 = \frac{1 csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}, sin^{2} (a) = \frac{sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

= \frac{1}{csc ^{2} ( a )} - \frac{1 \cdot csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )} + \frac{sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot csc ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

Multiplicar:

1 \cdot csc^{2} (a) = csc^{2} (a)

= \frac{1 - csc ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

\frac{1 - csc ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - csc^{2} (a) + sin^{2} (a) csc^{2} (a) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - csc^{2} (a) + csc^{2} (a) sin^{2} (a)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 1 - csc^{2} (a) + csc^{2} (a) (\frac{1}{csc ( a )})^{2}

Simplificar

1 - csc^{2} (a) + csc^{2} (a) (\frac{1}{csc ( a )})^{2} : - csc^{2} (a) + 2

1 - csc^{2} (a) + csc^{2} (a) (\frac{1}{csc ( a )})^{2}

csc^{2} (a) (\frac{1}{csc ( a )})^{2} = 1

csc^{2} (a) (\frac{1}{csc ( a )})^{2}

(\frac{1}{csc ( a )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( a )}

(\frac{1}{csc ( a )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( a )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( a )}

= \frac{1}{csc ^{2} ( a )} csc^{2} (a)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot csc ^{2} ( a )}{csc ^{2} ( a )}

Eliminar o fator comum:

csc^{2} (a)

= 1

= 1 - csc^{2} (a) + 1

Agrupar termos semelhantes

= - csc^{2} (a) + 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= - csc^{2} (a) + 2

= - csc^{2} (a) + 2

2 - csc^{2} (a) = 0

Usando o método de substituição

2 - csc^{2} (a) = 0

Sea:

csc (a) = u

2 - u^{2} = 0

2 - u^{2} = 0 : u = 2, u = - 2

2 - u^{2} = 0

Mova

2

para o lado direito

2 - u^{2} = 0

Subtrair

2

de ambos os lados

2 - u^{2} - 2 = 0 - 2

Simplificar

- u^{2} = - 2

- u^{2} = - 2

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 2

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 2

u^{2} = 2

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 2, u = - 2

Substituir na equação

u = csc (a)

csc (a) = 2, csc (a) = - 2

csc (a) = 2, csc (a) = - 2

csc (a) = 2 : a = \frac{π}{4} + 2 πn, a = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (a) = 2

Soluções gerais para

csc (a) = 2

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

a = \frac{π}{4} + 2 πn, a = \frac{3 π}{4} + 2 πn

a = \frac{π}{4} + 2 πn, a = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (a) = - 2 : a = \frac{5 π}{4} + 2 πn, a = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (a) = - 2

Soluções gerais para

csc (a) = - 2

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

a = \frac{5 π}{4} + 2 πn, a = \frac{7 π}{4} + 2 πn

a = \frac{5 π}{4} + 2 πn, a = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = \frac{π}{4} + 2 πn, a = \frac{3 π}{4} + 2 πn, a = \frac{5 π}{4} + 2 πn, a = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

5cos(3x)=-3

5 cos (3 x) = - 3

2sin^2(θ)=sin(θ),0<= θ<= 2pi

2 sin^{2} (θ) = sin (θ), 0 \leq θ \leq 2 π

cos(2x)=cos(4x)

cos (2 x) = cos (4 x)

14sin^2(x)-7sin(x)=0

14 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 0

cos(α)= 2/3

cos (α) = \frac{2}{3}