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5cos^2(θ)=-13cos(θ)+6

Solución

5 cos^{2} (θ) = - 13 cos (θ) + 6

Solución

θ = 1.15927 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn

Grados

θ = 66.42182 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 293.57817 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 cos^{2} (θ) = - 13 cos (θ) + 6

Usando el método de sustitución

5 cos^{2} (θ) = - 13 cos (θ) + 6

Sea:

cos (θ) = u

5 u^{2} = - 13 u + 6

5 u^{2} = - 13 u + 6 : u = \frac{2}{5}, u = - 3

5 u^{2} = - 13 u + 6

Mover

6

al lado izquierdo

5 u^{2} = - 13 u + 6

Restar

6

de ambos lados

5 u^{2} - 6 = - 13 u + 6 - 6

Simplificar

5 u^{2} - 6 = - 13 u

5 u^{2} - 6 = - 13 u

Mover

13 u

al lado izquierdo

5 u^{2} - 6 = - 13 u

Sumar

13 u

a ambos lados

5 u^{2} - 6 + 13 u = - 13 u + 13 u

Simplificar

5 u^{2} - 6 + 13 u = 0

5 u^{2} - 6 + 13 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} + 13 u - 6 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} + 13 u - 6 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = 13, c = - 6

u_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 1 3 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 6 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 1 3 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 6 )}{2 \cdot 5}

1 3^{2} - 4 \cdot 5 (- 6) = 17

1 3^{2} - 4 \cdot 5 (- 6)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 3^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 6

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 6 = 120

= 1 3^{2} + 120

1 3^{2} = 169

= 169 + 120

Sumar:

169 + 120 = 289

= 289

Descomponer el número en factores primos:

289 = 1 7^{2}

= 1 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 7^{2} = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 13 \pm 17}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 13 + 17}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 13 - 17}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 13 + 17}{2 \cdot 5} : \frac{2}{5}

\frac{- 13 + 17}{2 \cdot 5}

Sumar/restar lo siguiente:

- 13 + 17 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{4}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2}{5}

u = \frac{- 13 - 17}{2 \cdot 5} : - 3

\frac{- 13 - 17}{2 \cdot 5}

Restar:

- 13 - 17 = - 30

= \frac{- 30}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 30}{10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{30}{10}

Dividir:

\frac{30}{10} = 3

= - 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{2}{5}, u = - 3

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2}{5}, cos (θ) = - 3

cos (θ) = \frac{2}{5}, cos (θ) = - 3

cos (θ) = \frac{2}{5} : θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2}{5}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

cos (θ) = - 3 :

Sin solución

cos (θ) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 1.15927 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-sqrt(3)sin(x)-cos(x)=0

- 3 sin (x) - cos (x) = 0

tan(θ)+sec(θ)=1

tan (θ) + sec (θ) = 1

6sin(x)+sqrt(8)=0

6 sin (x) + 8 = 0

2cos(x)-7=4sec(x)

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

3(cos(2x)+3/2)=6

3 (cos (2 x) + \frac{3}{2}) = 6