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Beliebt Trigonometrie >

tan(θ)+sec(θ)=1

Lösung

tan (θ) + sec (θ) = 1

Lösung

θ = 2 πn + 2 π

Grad

θ = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (θ) + sec (θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

tan (θ) + sec (θ) - 1 = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + sec (θ) + tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{1}{cos ( θ )} + tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

- 1 + \frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- cos ( θ ) + 1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= - 1 + \frac{sin ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( θ ) + 1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{- cos ( θ ) + 1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{- cos ( θ ) + 1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1 - cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - cos (θ) + sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos (θ) + sin (θ)

sin (θ) - cos (θ) = 2 sin (θ - \frac{π}{4})

sin (θ) - cos (θ)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} cos (θ))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (θ) - sin (\frac{π}{4}) cos (θ))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (θ - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (θ - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (θ - \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (θ - \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (θ - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (θ - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (θ - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (θ - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2} : sin (θ - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( θ - \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (θ - \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

θ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : θ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

θ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

θ - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : θ

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= θ

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

θ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

θ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

θ = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Löse

θ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : θ = 2 πn + 2 π

θ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

θ - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : θ

θ - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= θ

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : 2 π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

θ = 2 πn + 2 π

θ = 2 πn + 2 π

θ = 2 πn + 2 π

θ = 2 πn + \frac{3 π}{2}, θ = 2 πn + 2 π

Da die Gleichung undefiniert ist für:

2 πn + \frac{3 π}{2}

θ = 2 πn + 2 π

Graph

Beliebte Beispiele

6sin(x)+sqrt(8)=0

6 sin (x) + 8 = 0

2cos(x)-7=4sec(x)

2 cos (x) - 7 = 4 sec (x)

sin^2(x)-3=2sin(x)

sin^{2} (x) - 3 = 2 sin (x)

tan^2(x)-(sqrt(3)+1)tan(x)+sqrt(3)=0

tan^{2} (x) - (3 + 1) tan (x) + 3 = 0

6cos(θ)=3

6 cos (θ) = 3