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beweisen sin(3pi-x)=sin(x)

Lösung

beweisen

sin (3 π - x) = sin (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (3 π - x) = sin (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (3 π - x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 π - x)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (3 π) cos (x) - cos (3 π) sin (x)

Vereinfache

sin (3 π) cos (x) - cos (3 π) sin (x) : sin (x)

sin (3 π) cos (x) - cos (3 π) sin (x)

sin (3 π) cos (x) = 0

sin (3 π) cos (x)

sin (3 π) = 0

sin (3 π)

sin (3 π) = sin (π)

sin (3 π)

Schreibe

3 π

um:

2 π + π

= sin (2 π + π)

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + π) = sin (π)

= sin (π)

= sin (π)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

cos (3 π) sin (x) = - sin (x)

cos (3 π) sin (x)

cos (3 π) = - 1

cos (3 π)

cos (3 π) = cos (π)

cos (3 π)

Schreibe

3 π

um:

2 π + π

= cos (2 π + π)

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + π) = cos (π)

= cos (π)

= cos (π)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

= - 1

= - 1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= - sin (x)

= 0 - (- sin (x))

Fasse zusammen

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

p ro v e (1 + cot (x))^{2} = csc^{2} (x) + 2 cot (x)

p ro v e 1 + tan^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{sin ( π - x )}{sin ( x + \frac{π}{2} )} = tan (x)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{csc ( x ) + 1}{csc ( x )}