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beweisen (1+cot(x))^2=csc^2(x)+2cot(x)

Lösung

beweisen

(1 + cot (x))^{2} = csc^{2} (x) + 2 cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + cot (x))^{2} = csc^{2} (x) + 2 cot (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + cot (x))^{2}

Multipliziere aus

(1 + cot (x))^{2} : 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

(1 + cot (x))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cot (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x) : 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

= 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x) + 2 cot (x)

Manipuliere die rechte Seite

csc^{2} (x) + 2 cot (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc^{2} (x) + 2 cot (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x) + 2 cot (x)

= 1 + cot^{2} (x) + 2 cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 + tan^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{sin ( π - x )}{sin ( x + \frac{π}{2} )} = tan (x)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{csc ( x ) + 1}{csc ( x )}

p ro v e cos (3 x) = cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

p ro v e (1 + cot^{2} (x)) tan (x) = csc (x) sec (x)