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人気のある三角関数 >

証明する sec^2(α)+csc^2(α)= 1/(sin^2(α)cos^2(α))

解

証明する

sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

解

真

解答ステップ

sec^{2} (α) + csc^{2} (α) = \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

左側を操作する

sec^{2} (α) + csc^{2} (α)

サイン, コサインで表わす

csc^{2} (α) + sec^{2} (α)

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( α )})^{2} + sec^{2} (α)

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2}

簡素化

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} + (\frac{1}{cos ( α )})^{2}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

(\frac{1}{sin ( α )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( α )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( α )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( α )} + \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

以下の最小公倍数:

sin^{2} (α), cos^{2} (α) : sin^{2} (α) cos^{2} (α)

sin^{2} (α), cos^{2} (α)

最小公倍数 (LCM)

sin^{2} (α)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos^{2} (α)

= sin^{2} (α) cos^{2} (α)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin^{2} (α) cos^{2} (α)

\frac{1}{sin ^{2} ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{2} (α)

\frac{1}{sin ^{2} ( α )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )} = \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

\frac{1}{cos ^{2} ( α )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin^{2} (α)

\frac{1}{cos ^{2} ( α )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )} = \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( α ) cos ^{2} ( α )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin^2(A)+cos^2(A)=1

p ro v e sin^{2} (A) + cos^{2} (A) = 1

証明する csc(2x)+cot(2x)=cot(x)

p ro v e csc (2 x) + cot (2 x) = cot (x)

証明する cos^2(t)=(1+cos(2t))/2

p ro v e cos^{2} (t) = \frac{1 + cos ( 2 t )}{2}

証明する cos(x)csc(x)tan(x)=1

p ro v e cos (x) csc (x) tan (x) = 1

証明する (csc^2(θ))/(1+tan^2(θ))=cot^2(θ)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)