English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

beweisen cot(2x)=(csc^2(x)-2)/(2cot(x))

Lösung

beweisen

cot (2 x) = \frac{csc ^{2} ( x ) - 2}{2 cot ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (2 x) = \frac{csc ^{2} ( x ) - 2}{2 cot ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{csc ^{2} ( x ) - 2}{2 cot ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 2 + csc ^{2} ( x )}{2 cot ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 cot ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} : \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2}{sin ( x )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )} ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2}

Füge

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- 2 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{2 cos ( x )}

Multipliziere

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )} sin (x) : \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x )}

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 sin ^{2} ( x ) + 1 ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- 2 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x )}}{2 cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) cos ( x ) \cdot 2}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{tan ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e sin (x) \cdot tan (x) = sec (x) - cos (x)

p ro v e (tan (y) + cot (y)) sin (y) cos (y) = 1

p ro v e (csc (θ) - cot (θ)) (csc (θ) + cot (θ)) = 1

p ro v e 1 + sin (x) cot (x) = 1 + cos (x)