ja

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

人気のある三角関数 >

証明する tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))

解

証明する

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

解

真

解答ステップ

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

左側を操作する

tan (\frac{π}{4} - θ)

三角関数の公式を使用して書き換える

tan (\frac{π}{4} - θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( \frac{π}{4} - θ )}{cos ( \frac{π}{4} - θ )}

角の差の公式を使用する:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} - θ )}

角の差の公式を使用する:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

簡素化

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

sin (\frac{π}{4}) cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ) = \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

sin (\frac{π}{4}) cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ)

簡素化

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ)

簡素化

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

cos (\frac{π}{4}) cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ) = \frac{2}{2} cos (θ) + \frac{2}{2} sin (θ)

cos (\frac{π}{4}) cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ)

簡素化

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ)

簡素化

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

次の自明恒等式を使用する:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) + \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2}{2} cos ( θ ) + \frac{2}{2} sin ( θ )}

乗じる

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2}{2} sin ( θ )}

乗じる

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

乗じる

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

乗じる

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

分数を組み合わせる

\frac{2 cos ( θ )}{2} + \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}{2}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ ) + 2 s i n ( θ )}{2}}

分数を組み合わせる

\frac{2 cos ( θ )}{2} - \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ ) - 2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ ) + 2 s i n ( θ )}{2}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ ) )}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}

共通項をくくり出す

2

= \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}

共通項をくくり出す

2

= \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{2 ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

共通因数を約分する:

2

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

右側を操作する

\frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

サイン, コサインで表わす

\frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

簡素化

\frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

結合

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

結合

1 - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ( θ ) - s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( θ ) - sin ( θ ) ) cos ( θ )}{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

共通因数を約分する:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos^2(B)= 1/2 (1+cos(2B))

p ro v e cos^{2} (B) = \frac{1}{2} (1 + cos (2 B))

証明する sin(θ+pi)=-sin(θ)

p ro v e sin (θ + π) = - sin (θ)

証明する sin(x+(3pi)/2)=-cos(x)

p ro v e sin (x + \frac{3 π}{2}) = - cos (x)

証明する sec(x)-sec(x)*sin^2(x)=cos(x)

p ro v e sec (x) - sec (x) \cdot sin^{2} (x) = cos (x)

証明する (2sin(x)cos(x))/(cos(2x))=tan(2x)

p ro v e \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )} = tan (2 x)