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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))

Lösung

beweisen

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Manipuliere die linke Seite

tan (\frac{π}{4} - θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (\frac{π}{4} - θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( \frac{π}{4} - θ )}{cos ( \frac{π}{4} - θ )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} - θ )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

sin (\frac{π}{4}) cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ) = \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

sin (\frac{π}{4}) cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ)

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) - cos (\frac{π}{4}) sin (θ)

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) - \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( θ ) + sin ( \frac{π}{4} ) sin ( θ )}

cos (\frac{π}{4}) cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ) = \frac{2}{2} cos (θ) + \frac{2}{2} sin (θ)

cos (\frac{π}{4}) cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ)

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) + sin (\frac{π}{4}) sin (θ)

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ) + \frac{2}{2} sin (θ)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2}{2} cos ( θ ) + \frac{2}{2} sin ( θ )}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2}{2} sin ( θ )}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( θ ) - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (θ) : \frac{2 cos ( θ )}{2}

\frac{2}{2} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2}{2} sin ( θ )}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (θ) : \frac{2 sin ( θ )}{2}

\frac{2}{2} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ )}{2} + \frac{2 s i n ( θ )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( θ )}{2} + \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ )}{2} - \frac{2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ ) + 2 s i n ( θ )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( θ )}{2} - \frac{2 sin ( θ )}{2} : \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( θ ) - 2 s i n ( θ )}{2}}{\frac{2 c o s ( θ ) + 2 s i n ( θ )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{2 cos ( θ ) + 2 sin ( θ )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{2 ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

\frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{1 + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Füge

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Füge

1 - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

1 - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ( θ ) - s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( θ ) - sin ( θ ) ) cos ( θ )}{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + sin ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos^2(B)= 1/2 (1+cos(2B))

p ro v e cos^{2} (B) = \frac{1}{2} (1 + cos (2 B))

beweisen sin(θ+pi)=-sin(θ)

p ro v e sin (θ + π) = - sin (θ)

beweisen sin(x+(3pi)/2)=-cos(x)

p ro v e sin (x + \frac{3 π}{2}) = - cos (x)

beweisen sec(x)-sec(x)*sin^2(x)=cos(x)

p ro v e sec (x) - sec (x) \cdot sin^{2} (x) = cos (x)

beweisen (2sin(x)cos(x))/(cos(2x))=tan(2x)

p ro v e \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )} = tan (2 x)