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受欢迎的三角函数 >

证明 csc(θ)=cos(θ)cot(θ)+sin(θ)

解答

证明

csc (θ) = cos (θ) cot (θ) + sin (θ)

解答

真

求解步骤

csc (θ) = cos (θ) cot (θ) + sin (θ)

调整右侧

cos (θ) cot (θ) + sin (θ)

用 sin, cos 表示

sin (θ) + cos (θ) cot (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= sin (θ) + cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

化简

sin (θ) + cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

sin (θ) + cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= sin (θ) + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

将项转换为分式:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) + cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ) + cos^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

化简

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= csc (θ)

csc (θ)

csc (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin(z+pi/2)=cos(z)

p ro v e sin (z + \frac{π}{2}) = cos (z)

证明 (sec(α))/(1-cos(α))=(sec(α)+1)/(sin^2(α))

p ro v e \frac{sec ( α )}{1 - cos ( α )} = \frac{sec ( α ) + 1}{sin ^{2} ( α )}

证明 cos(pi/4)=(sqrt(2))/2

p ro v e cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

证明 cot(x)=(csc(x))/(sec(x))

p ro v e cot (x) = \frac{csc ( x )}{sec ( x )}

证明 1/(1+sin(x))+1/(1-sin(x))=2+2tan^2(x)

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)