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受欢迎的三角函数 >

证明 tan(θ)+cot(θ)= 2/(sin(2θ))

解答

证明

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

解答

真

求解步骤

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

调整左侧

tan (θ) + cot (θ)

用 sin, cos 表示

cot (θ) + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= sin (θ) cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (θ) cos (θ)

对于

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

化简

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 (csc(θ))/(sin(θ))=csc^2(θ)

p ro v e \frac{csc ( θ )}{sin ( θ )} = csc^{2} (θ)

证明 2sin(2x)=4sin(x)cos(x)

p ro v e 2 sin (2 x) = 4 sin (x) cos (x)

证明 (1-sin(x))/(sec(x))=(cos^3(x))/(1+sin(x))

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{sec ( x )} = \frac{cos ^{3} ( x )}{1 + sin ( x )}

证明 cos(2α)=-1+2/(1+tan^2(α))

p ro v e cos (2 α) = - 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

证明 (1+sec(x))(csc(x)-cot(x))=tan(x)

p ro v e (1 + sec (x)) (csc (x) - cot (x)) = tan (x)