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beweisen (1+sec(x))(csc(x)-cot(x))=tan(x)

Lösung

beweisen

(1 + sec (x)) (csc (x) - cot (x)) = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + sec (x)) (csc (x) - cot (x)) = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + sec (x)) (csc (x) - cot (x))

Drücke mit sin, cos aus

(- cot (x) + csc (x)) (1 + sec (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + csc (x)) (1 + sec (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}) (1 + sec (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}) (1 + \frac{1}{cos ( x )})

Vereinfache

(- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}) (1 + \frac{1}{cos ( x )}) : \frac{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) cos ( x )}

(- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}) (1 + \frac{1}{cos ( x )})

Vereinfache

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )} (\frac{1}{cos ( x )} + 1)

Füge

1 + \frac{1}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )} \cdot \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{( - cos ( x ) + 1 ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 + cos ( x ) ) ( 1 - cos ( x ) )}{cos ( x ) sin ( x )}

Multipliziere aus

(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) : 1 - cos^{2} (x)

(1 + cos (x)) (1 - cos (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} - cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 - csc^{2} (z) = 1 - cot^{2} (z)

p ro v e csc (\frac{π}{2} - u) = sec (u)

p ro v e - 2 sin (k - l) sin (k + l) = cos (2 k) - cos (2 l)

p ro v e cos (θ - 6 0^{\circ}) + cos (θ + 6 0^{\circ}) = cos (θ)

p ro v e tan (2 A) = \frac{2 tan ( A )}{1 - tan ^{2} ( A )}